包含

输入：一组在点，和一个整数。 $n$ $\mathbb{R}^3$ $k \le n$

输出：最小体积轴对齐的边界框，至少包含这个点中的个。 $k$ $n$

我想知道是否有任何算法可以解决此问题。我能想到的最好的时间是时间，大致如下：在三个维度中的两个维度上，所有可能的上限和下限都将受到蛮力作用；对于每种可能性，我们都可以使用滑动窗口算法在时间内解决问题的维形式。 $O(n^5)$ $O(n^4)$ $1$ $O(n)$

cg.comp-geom

— 专线小巴
source

我们不能为

和

的点数计算大小为

的表

？点数和体积的计算可以通过操作数const来完成，我们可以将动态编程与大小为

的表一起使用，并且应该能够获得

n^{3}

$n^3$

p

$p$

p . x < x, p . y < y, p . z < z

$p.x< x, p.y<y, p.z <z$

k n^{3}

$k n^3$

算法。

O (k n^{3})

$O(kn^3)$

— 卡夫

好。在这种情况下，

，您就不能真正希望做得比

。因为，有

不同的不同的盒子，并且通过平均参数（在k的随机值上），有

盒子恰好包含k个点。除非您能以某种方式使用体积大的东西来以某种方式缩小搜索空间，但这似乎是乐观的……

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

n^{5}

$n^5$

n^{6}

$n^6$

n^{5}

$n^5$

— Sariel Har-Peled

顺便说一句，你的情况，你可以得到含箱

点，那是不是包含最佳盒小

点

(1 - ϵ) k

$(1-\epsilon)k$

k

$k$

时间。对于

这基本上polylog时间，..。

O (((n / k) / ϵ^{2} \log n)^{O (1)})

$O( ((n/k)/\epsilon^2 \log n)^{O(1)})$

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

— 沙利叶的Har-佩莱德

对于个点，有空框，请参见本文介绍http://www.cs.uwm.edu/faculty/ad/maximal.pdf。大约可以在这个时候计算这些盒子（参见参考资料中的参考资料）。 $n$ $O(n^3)$

对于您的问题，请随机抽取一些点，并以可拾取性挑选每个点。这样的随机样本的大小（预期值）为 [（为了矛盾起见，假设为）。上面有空盒子，它们的侧面都是的点。对于每个此类框，请使用正交范围搜索数据结构来计算其确切包含多少个点。重复此过程 $1/k$ $n/k$ $O((n/k)^3)$ $R$ $O(k^6 \log n)$ 次。您尝试使用的框之一很有可能是所需的框。

总的来说，在此运行时间为。 $O((n/k)^3 * k^6 * polylog n) = O(n^3 k^3 \log^{O(1)} n )$

要了解为什么这样做有效，请考虑使用最佳包装盒。它的边界上有6个P点。随机样本选择这六个点且框内没有一个点的概率至少为。因此，如果您重复过程次，则概率很高，其中一个随机样本会导致所需的框为空框。 $\frac{1}{k^6} ( 1-1/k)^{k-6} \approx 1/k^6 = p$ $O( (1/p) \log n)$

由于对于空盒的数量来说是紧密的（有关参考文献请参见上面的论文介绍），因此似乎不可能有明显更快的算法。 $\Theta(n^3)$

[在我提供的参考文献中，他们提到[17]提供了一种算法，该算法枚举了时间的，这是上面需要的黑盒子。 $O(n^3 \log^2 n)$

— 萨里尔·哈皮德（Sariel Har-Peled）
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谢谢-这真是太好了！我真的应该提到一个细节（对不起！），因为我的目的是

，所以

仅与

。不过，仍然有很多非常酷的想法可能对大型

版本有用...

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

O (n^{3} k^{3})

$O(n^3 k^3)$

O (n^{6})

$O(n^6)$

k

$k$

— GMB