在有限自动机上是否存在定义明确的除法运算？

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背景：

给定两个确定性有限自动机A和B，我们通过让C中的状态为A中状态的笛卡尔积和B中状态的笛卡尔积来形成乘积C。然后，选择过渡，初始状态和最终状态，以便C是A和B语言的交集。

问题：

（1）我们能否将C除以B以找到A？甚至是唯一的，同构的吗？我们关心状态图，而不是这里和下面的语言。因此，我们不允许压缩状态图以减少状态数。

（2）如果A是唯一的，是否有找到它的有效算法？

（3）是否每个确定性有限自动机都有唯一的因式分解为“素数”。这里的质数是指不能分解的自动机，即写为2个较小自动机的乘积。

与@MichaelWehar合作

fl.formal-languages automata-theory dfa

— Whosyourjay
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经典的分解是Krohn-Rhodes理论-有很多值得研究的地方。

2

考虑Brzozowski衍生物。en.wikipedia.org/wiki/Brzozowski_derivative

— Vijay D

2

@halfTrucker Krohn-Rhodes理论涉及花圈产品。OP正在询问笛卡尔积。

— scaaahu

2

感谢@halfTrucker，这真的很有趣！正如scaaahu所说，我正在寻找笛卡尔积，但是您的参考仍然很棒。

— Whosyourjay

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看看这份MFCS 2013论文，该论文研究自动机的组成。也许会有所帮助。

— 鲨鱼
source

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+1的链接。从本文的讨论引述，虽然一般情况仍未解决，但本文似乎仅探讨置换自动机情况。普通案例是否有新的进展？我的意思是指笛卡尔积？（Krohn-Rhodes理论涉及花圈产品）谢谢。

— scaaahu

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我不知道最近的事态发展。我可以告诉你，本文没有直接的后续工作。但这可以表明问题确实不容易。

— Shaull

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让我们给出一些明显的方法来恢复产品自动机的一个“因素”。如果和表示产品自动机，然后如果我们定义即只是忘记 $\mathcal A_i = (Q_i, \delta_i, q_{0i}, F_i), i = 1,2$ $\mathcal A = \mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

π_{1} ((q, q^{'})) := q

$\pi_1( (q, q') ) := q$

A_{2}

$\mathcal A_2$ ，或投影到所述第二组件，我们有

，此外，如果我们想知道

挑选一些

和计算在产品自动机

Q_{1} = π (Q_{1} \times Q_{2})

$Q_1 = \pi(Q_1\times Q_2)$

δ_{1} (q, x)

$\delta_1(q,x)$

q^{'} \in Q_{2}

$q' \in Q_2$

，因此我们也可以恢复

的过渡。

π ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x)

$\pi((\delta_1(q,x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x)$

A_{1}

$\mathcal A_1$

因此，如果我们知道自动机是笛卡尔（或外部）乘积自动机，则可以轻松地恢复因子。

但是我想这不是您想到的其他问题。这里出现两个问题（以下是自动机同构，我是指同构作为状态图，即与初始状态或最终状态无关，因为您说的是这里的语言无关紧要）：

1）给定任何自动机，它与有限数量的自动机的乘积自动机同构（即可以某种方式分解），这种分解本质上是唯一的吗？（假设这些因素无法进一步分解，否则显然无法分解）。更presicely如果用于不可分解自动机执行此暗示和对于某些重排序

A_{1} \times \dots \times A_{k} ≅ B_{1} \times \dots \times B_{l}

$\mathcal A_1 \times \ldots \times \mathcal A_k \cong \mathcal B_1 \times \ldots \times \mathcal B_l$

A_{i}, B_{j}

$\mathcal A_i, \mathcal B_j$

k = l

$k = l$

A_{i} ≅ B_{π (i)}

$\mathcal A_i \cong \mathcal B_{\pi(i)}$

π : {1, \dots k} \to {1, \dots k}

$\pi : \{1,\ldots k \}\to \{1,\ldots k \}$

$\mathcal A, \mathcal B$ $\mathcal C$ $\mathcal A = \mathcal B \times \mathcal C$

很容易得出这种情况的必要条件，但是我看不到有任何简单容易的足以使某些自动机成为另一个因素的标准。

π_{1} ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x) = δ_{1} (π_{1} (q, q^{'}), x)

$\pi_1( (\delta_1(q, x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x) = \delta_1(\pi_1(q,q'), x)$ for all

q \in Q_{1}, q^{'} \in Q_{2}

$q \in Q_1, q' \in Q_2$ and hence

π

$\pi$ is a state graph homomorphism of

A_{1} \times A_{2}

$\mathcal A_1 \times \mathcal A_2$ onto

A_{2}

$\mathcal A_2$ . So we define:

An automaton $\mathcal A$ divides an automaton $\mathcal B$ if there exists a state graph homomorphism $\mathcal B$ onto $\mathcal A$ .

Really interesting gets this notion if we consider the transition monoids of the automata, then this definition is equivalent to that there exists a surjective homomorphism from the transition monoid of $\mathcal B$ to that of $\mathcal A$ .

More generally, we say that a monoid $M$ divides a monoid $N$ if $M$ is the image of some morphism from a submonoid of $N$ . And this notion is widely used, and given the relation between DEA and finite monoids closely related to you question on the decomposition of automata. If you want to find out more, check out these resources:

H. Straubing, P. Weil An introduction to finite automata and their connection to logic,

Course website with lots of information.

Remark: There is also another notion of "quotienting", see wikipedia:quotient automaton, but this is just a rule for collapsing states and used in learning/language inference algorithms or state minimization.

— StefanH
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