NFA普遍性的条件

考虑一个不确定的有限自动机和一个函数。另外，我们定义。 $A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ $f(n)$ $\Sigma^{\leq k} = \bigcup_{i \leq k} \Sigma^i$

现在让我们分析以下语句：

如果，则。 $\Sigma^{\leq f(|Q|)} \subseteq L(A)$ $L(A) = \Sigma^*$

很容易证明，对于它是正确的，因此，如果自动机产生的每个单词的长度最大为，那么它将产生。 $f(n) = 2^n+1$ $2^{|Q|}+1$ $\Sigma^*$

但是，如果是一个多项式，它仍然成立吗？ $f$

如果不是，那么给定多项式的NFA的构造应该是什么样子？st？ $A$ $p$ $\Sigma^{\leq p(|Q|)} \subseteq L(A) \subsetneq \Sigma^*$

automata-theory fl.formal-languages nondeterminism

— 迈克·B。
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我想证明

的情况是

。如果没有，我将尽其所能提供最佳结构。

f (n) = 2^{n - o (n)}

$f(n)=2^{n−o(n)}$

| Σ | \geq 2

$|\Sigma|\geq 2$

— 张显之（张显之）2010年

Answers:

为了保持该语句，即使使用一进制字母，f也必须按指数增长。

[编辑：版本2中的分析略有改进。]

这是一个证明草图。假定该语句成立，令f为一个函数，以使每个具有最多n个状态的NFA 都接受长度最大为f（n）的所有字符串，并接受所有字符串。我们将证明，对于每一个ç > 0且足够大ñ，我们有˚F（ñ）> 2 ^{Ç ⋅√ ñ}。

的素数定理意味着对于每ç <LG e和对于足够大的ķ，至少有Ç ⋅2 ^ķ / ķ范围素数[2 ^ķ，2 ^{ķ 1} ]。我们取c = 1。对于这样的k，令N _k = / 2 ^k / k⌉，并如下定义NFA M _k。令p ₁，…，p _N_{_k}为[2 ^k，2 ^k^+1]范围内的不同素数]。NFA M _k具有S _k = 1 + p ₁ +…+ p _{N _k}个状态。除了初始状态之外，状态被划分为N _k个周期，其中第i个周期的长度为p _i。在每个周期中，除一个状态外，所有状态均为接受状态。初始状态有N _k个输出边缘，每个边缘都进入每个周期中被拒绝状态之后的状态。最后，初始状态也被接受。

令P _k为乘积p ₁ … p _{N _k}。很容易看出，M _k接受长度小于P _k的所有字符串，但拒绝长度为P _k的字符串。因此，˚F（小号_ķ）≥ P _ķ。

需要注意的是小号_ķ ≤1 + Ñ _ķ ⋅2 ^{ķ 1} = O（2 ^{2 ķ}）和P _ķ ≥（2 ^ķ）^{Ñ _ķ} ≥2 ^{2 ^ķ}。其余的是标准的。

— 伊藤刚
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您对的最佳值有何猜想？假设或和之间的某个值？

f

$f$

f (n) = 2^{n} + 1

$f(n) = 2^n+1$

2^{n}

$2^n$

2^{c \cdot \sqrt{n}}

$2^{c\cdot\sqrt{n}}$

— 张显之

@贤千：我一直在想同样的事情，我没有任何合理的猜想。首先，看f（n）≤2^ n（我们不需要+1）是微不足道的，虽然我希望在此上限上有一些线性改进，但我不知道它是否严格到一个恒定因子。（更多）

— 伊藤刚

（续）其次，关于下界，如果我没记错的话，对上述分析进行一点细化，就可以得出以下下界：对于每个常数0 <c <和足够大的n，我们有。进一步的改进可能是可能的，但是如果我们使用相同的NTM结构，则对于p> 1/2，我们将无法获得下界，例如2 ^ {n ^ p}。我认为这是一个有趣的问题，即使用质数分布（例如PNT）对于构建不良示例是否必不可少。（更多）

1 / \sqrt{2}

$1/\sqrt2$

f (n) > e^{c \sqrt{n \ln n}}

$f(n) > e^{c\sqrt{n \ln n}}$

— 伊藤刚

（续）但是，如果您有兴趣并希望对其进行进一步的研究，那么最好先寻找文献是比较明智的。如果这个答案或更好的东西已经出现在文献中，我不会感到惊讶。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

@Tsuyoshi：Chrobak证明，对于的m状态NFA可以模拟一元语言的n状态DFA 。因此，如果语言是一元语言，则您的结构会很紧凑。参见[Chr86]：cs.ust.hk/mjg_lib/Library/Chro86.pdf

m = O (e^{\sqrt{n \log n}})

$m=O(e^{\sqrt{n\log n}})$

— 张显之张显之

在06年10月12日编辑：

好的，这几乎是我可以获得的最佳结构，看看是否有人提出了更好的想法。

定理。对于每个在带有字母上有一个状态NFA，使得不在中的最短字符串的长度为。 $n$ $(5n+12)$ $M$ $\Sigma$ $|\Sigma|=5$ $L(M)$ $(2^n-1)(n+1)+1$

这将给我们。 $f(n) = \Omega(2^{n/5})$

构造与Shallit的构造几乎相同，除了我们直接构造NFA而不是首先使用正则表达式表示语言。让

$\Sigma = \{{0 \brack 0},{0 \brack 1},{1 \brack 0},{1 \brack 1},\sharp\}$ 。

对于每个，我们将构建NFA识别语言，其中是以下序列（以为例）： $n$ $\Sigma^*-\{s_n\}$ $s_n$ $n=3$

$s_3 = \sharp{0 \brack 0}{0 \brack 0}{0 \brack 1}\sharp{0 \brack 0}{0 \brack 1}{1 \brack 0}\sharp \ldots \sharp{1 \brack 1}{1 \brack 1}{0 \brack 1}\sharp$ 。

我们的想法是，我们可以构建一个由五个部分组成的NFA。

一个启动程序，可确保字符串以； $\sharp{0 \brack 0}{0 \brack 0}{0 \brack 1}\sharp$
一个终止符，可确保字符串以； $\sharp{1 \brack 1}{1 \brack 1}{0 \brack 1}\sharp$
一个计数器，将两个之间的符号数量保持为 ; $\sharp$ $n$
一个附加检查器，可确保仅出现形式的符号；最后， $\sharp{x \atop x+1}\sharp$
一个一致的检查，这保证了只与形式符号可以同时出现。 $\sharp{x \atop y}\sharp{y \atop z}\sharp$

请注意，我们确实希望接受而不是，因此，一旦发现输入序列违反上述行为之一，我们将立即接受该序列。否则步骤，NFA将处于唯一可能的拒绝状态。并且如果序列长于，NFA也接受。因此，任何满足以上五个条件的NFA都只会拒绝。 $\Sigma^*-\{s_n\}$ $\{s_n\}$ $|s_n|$ $|s_n|$ $s_n$

直接检查下图而不是进行严格的证明可能很容易：

NFA拒绝s_n

我们从左上方开始。第一部分是启动器，然后是计数器，然后是一致性检查器，终结器，最后是加一检查器。所有没有终端节点的圆弧都指向右下角状态，这是一个永远的接受体。由于缺少空间，某些边缘未标记，但可以轻松恢复。虚线表示具有边缘的个状态的序列。 $n-1$ $n-2$

我们可以（痛苦地）验证NFA 仅拒绝，因为它遵循上述所有五个规则。因此，构造了一个具有的状态NFA ，满足了定理的要求。 $s_n$ $(5n+12)$ $|\Sigma|=5$

如果结构中有任何不清楚/问题，请发表评论，我将尝试解释/解决。

Jeffrey O. Shallit等人已经研究了这个问题，实际上对于仍然有的最优值。（关于一元语言，请参阅Tsuyoshi答案中的注释） $f(n)$ $|\Sigma|>1$

在他关于普遍性的演讲的第46-51页中，他提供了一种结构，使得：

定理。对于对于足够大的，在二进制字母上存在一个状态NFA，使得对于不在中的最短字符串的长度为。。 $n\geq N$ $N$ $n$ $M$ $L(M)$ $\Omega(2^{cn})$ $c=1/75$

因此，的最佳值介于和。我不确定近年来Shallit的结果是否有所改善。 $f(n)$ $2^{n/75}$ $2^n$

— 张显之张显之
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我正在玩Shallit的作品，希望能更好地限制。通过指定一些长度序列，它们的构造似乎很有趣，这些序列不能用长度的“短”正则表达式以及长度为每个正则表达式表示可以由大小为的NFA来描述。目前，我可以设置，但是更明智的想法是将接近。

2^{n}

$2^n$

\hat{Ω} (2^{n})

$\hat{\Omega}(2^n)$

c n + o (n)

$cn+o(n)$

f (n)

$f(n)$

f (n) + 1

$f(n)+1$

c \leq 22

$c \leq 22$

2^{n}

$2^n$

— 张显之张张之之

我认为这不会为研究此问题提供更多的见解，但Shallit演讲的恰当学术参考是：K. Ellul，B. Krawetz，J. Shallit，M. Wang：正则表达式：新结果和未解决的问题。Journal of Automata，Languages and Combinatorics杂志10（4）：407-437（2005）

— Hermann Gruber，2010年

@Hermann：谢谢您的参考，目前我无法访问该论文，但我会找到一种方法。

— 张显之张张之之2010年

我认为通过使用计数器，我们可以用2状态微型计算机代替启动器和终止器。因此，这进一步将NFA的大小减小到。

3 n + O (1)

$3n+O(1)$

— 张显之张张之之2010年

上面提到的JALC论文的作者预印版本在这里：cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/re3.pdf装订的范围和证据与印刷版相同。

— Hermann Gruber 2014年