Lambda微积分是一种特定类型的术语写作系统吗？

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现在我们可以看到，教会与相关的简单的类型化演算。的确，为了减少对Lambda微积分的误解，他似乎解释了Simple Typed Lambda微积分。

现在我们知道Mathematica的核心是一个类似Lisp的系统，但它不是完全基于Lambda微积分，而是基于术语重写系统。

作者在此声明：

Mathematica从根本上来说是一个术语重写系统，比Lisp背后的Lambda微积分更笼统。

似乎Lambda微积分只是一个更一般的类别的一小部分。（相当大的想法使人大开眼界）。我正在尝试阅读更多有关此内容的信息。

我的问题是：Lambda微积分是一种特定类型的术语写作系统吗？

lambda-calculus term-rewriting-systems lisp

— 鹰眼
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答案是，这取决于术语重写系统的含义。

在引入术语重写系统（TRSes）的概念时，它描述了现在称为一阶TRSes的形式，它只是一组形式的计算规则

l \to r

$l\rightarrow r$

其中和是形式的一阶项 $l$ $r$

t := x ∣ f (t_{1}, \dots, t_{n})

$t :=\ x\ \mid\ f(t_1,\ldots,t_n)$

其中是变量，是取自任意但固定的集合的函数符号，称为签名，它也为每个固定多个参数。 $x$ $f$ $\Sigma$ $f\in\Sigma$

规则有几个常见的限制，例如但我们无需在此赘述。 $\mathrm{Var}(r)\subseteq\mathrm{Var}(l)$

根据这个定义，通常的演算，与规则：不能被表达，如构造“ ” 结合的发生在（虽然应用程序很好）。一种可能的解决方案是将每个术语转换为另一种不涉及绑定的术语，并且该方法比重写系统本身的理论还要老。 $\beta$

(λ x . t) u \to t [u / x]

$(\lambda x. t)\ u \rightarrow t[u/x]$

λ

$\lambda$

x

$x$

t

$t$

λ

$\lambda$

一种方法是著名的组合器演算，它是带有签名的重写规则和和 $SK$ $\Sigma=\{S,\ K, \mathrm{app}\}$

a p p (a p p (K, x), y) \to x

$\mathrm{app}(\mathrm{app}(K,x),y)\rightarrow x$

a p p (a p p (a p p (S, x), y), z) \to a p p (a p p (x, z), a p p (y, z))

$\mathrm{app}(\mathrm{app}(\mathrm{app}(S, x), y), z)\rightarrow \mathrm{app}(\mathrm{app}(x, z),\mathrm{app}(y, z))$

还有另一种更直观的编码，其中包含带有de Bruijn索引和显式替换的lambda项，但我在这里不再赘述。

尽管具有一阶编码，但很显然，通过将TRS的概念扩展为包括具有构造函数的构造函数，可以更好地解决演算的减少行为所带来的技术问题。通常用术语“ 高阶重写系统”来指代。现在采用以下形式的条款 $\lambda$

t := x (t_{1}, \dots, t_{n}) ∣ f (x_{1}^{1} \dots x_{i_{1}}^{1} . t_{1}, \dots, x_{1}^{n} \dots x_{i_{n}}^{n} . t_{n})

$t\ :=\ x(t_1,\ldots, t_n)\ \mid\ f(x^1_1\ldots x^1_{i_1}.t_1,\ldots,x^n_1\ldots x^n_{i_n}.t_n)$

再次是，但现在每个都绑定在。签名需要指定每个参数绑定多少个变量。现在我们可以将表示为。只需做一些工作，就可以定义适当的替换概念。 $f\in\Sigma$ $x^i_j$ $t_i$ $\mathrm{abs}(x.t)$ $\lambda x.t$

在这里，关于什么构成重写规则尚无共识。一个问题是，我们希望重写是可确定的，因此，左手边是否与术语匹配就必须是可确定的。但这通常被认为是模数，据认为是可决定的，但是只有极其复杂和缓慢的算法（而是无法确定的！）。 $\beta\eta$ $\beta$

因此，左侧被限制在某些不错的子集中，通常是“密勒模式”。尽管有一些令人讨厌的惊喜，但针对一阶案例的许多结果是普遍的。

仅采用一阶系统，并将和应用程序添加到术语结构中，以及临时的和归约也很常见。这产生了相当合理的系统，但付出了（一定的）普遍性。 $\lambda$ $\beta$ $\eta$

当然，通常的演算可以直接在这些系统中编写。例如规则： $\lambda$ $\beta$

a p p (a b s (x . y (x)), z) \to y (z)

$\mathrm{app}(\mathrm{abs}(x.y(x)),z)\rightarrow y(z)$

Nipkow和Prehofer 在此对定义和基本结果进行了相当不错的概述。

— 科迪
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贝克曼（Beckman）和迈耶（Meijer）的演讲介绍了lambda演算，术语重写，并提到了Mathematica。我认为它以一种直观的方式回答了这个问题：https : //channel9.msdn.com/Series/Beckman-Meijer-Overdrive/Beckman-Meijer-Overdrive-The-Lambda-Calculus-and-Food-Nutrition

— j
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