用于TSP的Bellman-Held-Karp算法的时间复杂度，取2

一个独立于Bellman和Held-Karp的问题最近讨论了TSP的当前经典动态编程算法。据普遍报道，该算法在时间内运行。但是，正如我的一名学生最近指出的那样，这种运行时间可能需要一个不合理的强大计算模型。$O(2^n n^2)$

这是该算法的简要说明。输入由具有个顶点的有向图和非负长度函数。对于任何顶点和，以及任何不包含和的顶点子集，令表示诱导子图从到的最短哈密顿路径的长度。。Bellman-Held-Karp算法基于以下递归（或经济学家和控制理论家喜欢称其为“ Bellman方程”）：Ñ ℓ ：È → [R +小号吨X 小号吨大号（小号，X ，吨）小号吨ģ [ X ∪ { 小号，吨} $G=(V,E)$$n$$\ell\colon E\to\mathbb{R}^+$$s$$t$$X$$s$$t$$L(s,X,t)$$s$$t$$G[X\cup\{s,t\}]$

$$L(s,X,t) = \begin{cases} \ell(s,t) & \text{if $X = \varnothing_{\strut} $} \\ \min_{v\in X}~ \big(L(s, X\setminus\lbrace v\rbrace, v) + \ell(v,t)\big) & \text{otherwise} \end{cases}$$

对于任何顶点$s$，最优旅行推销员巡视的长度为$L(s,V\setminus\{s\}, s)$。因为第一个参数$s$在所有递归调用中都是常数，所以存在$\Theta(2^n n)$不同的子问题，并且每个子问题最多依赖于其他n个子问题$n$。因此，动态编程算法以$O(2^n n^2)$时间运行。

还是呢？

标准整数RAM模型允许对具有$O(\log n)$位的整数进行恒定时间操作，但是至少对于算术和逻辑运算，必须将较大的整数分解为字大小的块。（否则，可能会发生奇怪的事情。）访问更长的内存地址是否还不正确？ 如果算法使用超多项式空间，是否合理地假设内存访问仅需要恒定的时间？

特别是对于Bellman-Held-Karp算法，该算法必须针对每个v将子集$X$的描述转换为子集$X\setminus\{v\}$，以便访问备忘录表。如果子集用整数表示，则这些整数需要n位，因此不能在恒定时间内进行操作；如果它们不是用整数表示，则它们的表示不能直接用作备忘录表的索引。$v$$n$

那么：Bellman-Held-Karp算法的实际渐近运行时间是多少？

这是一个数学答案不是一个哲学一少，但我更愿意认为一个内存模式，让有位的某一号B整型常量时间操作的是未知的，但至少一样大，其中S是算法所需的空间量。因为，如果整数不是那么大，那么您怎么能解决内存问题呢？对于多项式时间和空间算法，它与O（log n）位相同，但是对于指数空间算法，它避免了该问题。$\log_2 S$

当然，如果S超出了您实际拥有的内存量，则算法将根本无法运行。或者，它将通过将信息分页到内存中和从内存中分页运行，您应该使用内存层次模型而不是RAM模型。

Fedor V. Fomin和Dieter Kratsch的最新著作“ Exact Exponential Algorithms ”中对此问题进行了讨论，他们在单位成本RAM模型和对数成本RAM模型中指定运行时间（最大距离城市和之间˚F （ñ ）= Ô *（克（ñ ））如果˚F （ñ ）= ö（克（ñ ）p Ô 升ý （ñ ）））：$W$$f(n)=\mathcal{O}^{\ast}(g(n))$$f(n)=\mathcal{O}(g(n)poly(n))$

和 2 Ñ登录W¯¯ Ñ Ô（1 ）（注意， 2 Ñ登录W¯¯ Ñ Ô（1 ） ∉ Ô *（ 2 Ñ））分别。$\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$$2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}$$2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}\notin\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$