有二维矩形着色问题的常数因子近似算法吗？

我们在这里考虑的问题是众所周知的间隔着色问题的扩展。代替间隔，我们考虑具有与轴平行的边的矩形。目的是使用最少数量的颜色为矩形着色，以便为任意两个重叠的矩形分配不同的颜色。

已知此问题是NP难题。Xin Han，Iwama Kazuo，Rolf Klein和Andrezej Lingas（在箱图上逼近最大独立集和最小顶点着色）给出了O（log n）逼近。有更好的近似算法吗？

我们知道，间隔着色问题是在多项式时间内通过首先拟合算法根据其左端点考虑间隔而解决的。但是，当间隔以任意顺序出现时，首次拟合在线算法具有8竞争性。

矩形着色问题的首选算法的性能如何？当矩形根据其左（垂直）边出现时，首次拟合算法会怎样？

在此先感谢您的任何帮助。

正如另一个答案所建议的那样，$\Omega(\log n)$下界不是很难看到。让我们用一条水平线自下而上。这个想法是建立需要越来越多颜色的组件。特别地，令$C(i)$是一个具有颜色$i$的顶部矩形的小工具（即，第一个拟合将为其分配颜色$i$）。显然，$C(1)$只是一个矩形。分量$C(2)$是

$C(k)$$C(1), \ldots, C(k-1)$

$k$$C(k)$$C(k)$$2$$C(k)$$2^{O(k)}$$\Omega( \log n )$

由于有一个简单的算法可以使$O( \log n)$近似于矩形的着色，因此这可能很严格。我不知道。

据我所知，这是未知的。Asplund and Grunbaum（1960ish）的一篇旧论文显示，如果集团数为2，则色数最多为6（并且很紧）。我认为，首先拟合的间隙大于任何常数的示例应该很容易，因为树可以用矩形的交点图表示，并且树需要通过任何在线算法获得log n颜色。

我认为，Asplund，Grunbaum论文或更高版本的论文也表明，矩形相交图的色数最多为O（k ^ 2），其中k是最大团的大小...但是，未知例如，在k种颜色中要求线性以上的示例。