常规语言的层次结构

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在常规语言类中是否存在任何已知的“不错的”层次结构（可能是有限的）？顺便说一句，每个层次结构中的类都捕获了不同的表现力/能力/复杂性。而且，每个类别的成员资格都由某些元素“很好地”证明了（不同于可能有问题的星高问题）。 $L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \dots$ $L$

谢谢！

automata-theory regular-language regular-expressions

— 拉贾达马尼克
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自然的等级是由状态数引起的等级。

— Marzio De Biasi

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典型的是点深度层次，其特征是FO（<）中的量词交替。基本上，量词的交替（布尔闭合）为您提供健壮的类和层次结构。

— 迈克尔Cadilhac

这两

— 件事

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也有星星的高度。

— reinierpost

与“很好”的层次结构相比，“每个类的成员资格通过某些元素“很好地”展示了”是什么意思？”。在常规语言之外，多项式层次结构似乎被认为是一个很好的层次结构，尽管事实是成员资格和-甚至还没有一个真正的等级制度存在

— J.-E. Pin

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这是几个感兴趣的层次结构的列表，其他答案中已经提到了其中一些。

串联层次结构

甲语言是一个标记产品的如果对于一些字母。串联层次结构是通过交替的布尔运算和多项式运算（=联合和标记乘积）定义的。Straubing-Thérien层次结构（起点 $L$ $L_0, L_1, \ldots, L_n$ $L = L_0a_1L_1 \cdots a_nL_n$ $a_1, \ldots, a_n$ $\{\emptyset, A^*\})\$ 和点深度的层次结构（起点是这种类型的，但是可以采取其他的起始点，特别是基团的语言（通过置换自动机接受的语言）。 $\{\emptyset, \{1\}, A^+, A^*\})\$

星高层次

通常的模式是从字母开始计算表达一种语言所需的最少嵌套星号，但是根据允许的基本运算符，可以有几种变体。如果仅允许并集和乘积，则定义受限星高；如果允许并集，补码和乘积，则定义（广义）星高；如果允许并集，交点和乘积，则定义中间星高。每语言都有限制星数语言，并且可以有效地计算给定规则语言的星高。对于星高，可以确定星高（无星语言），存在星高语言 $n$ $n$ $0$ $1$ ，但未知星际高度语言！中间星高度的结果未知。请参阅本文以获取概述。 $2$

逻辑层次结构

有很多人，但最重要的一项就是所谓的层次。公式被说成是一个 -式如果是等同于以下形式的式，其中是自由量词和是的序列 $\Sigma_n$ $\Sigma_n$ $Q(x_1,...,x_k)\varphi$ $\varphi$ $Q(x_1,...,x_k)$ $n$ 量词的块，使得第一块只包含存在量词（请注意，此第一块可以是空的），第二块普遍量词等。类似地，如果被形成交替使用全称量词（而这又可能是空的）的块开始量词块，我们说是 -式。表示由（分别地，）之类的可以由被定义语言 -式（相应的一个 $Q(x_1,...,x_k)$ $n$ $\varphi$ $\Pi_n$ $\Sigma_n$ $\Pi_n$ $\Sigma_n$ -式），并通过的布尔闭合 -languages。最后，让。总体情况如下：当然需要指定签名。通常有一个谓词对每个字母（和手段有一个字母在位置在字）。然后可以添加一个二进制符号 $\Pi_n$ $\mathcal{B}\Sigma_n$ $\Sigma_n$ $\Delta_n = \Sigma_n \cap \Pi_n$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{a}x$ $a$ $x$ $<$ （相应的层次结构是Straubing-Thérien层次结构），也是后继符号（相应的层次结构是点深度层次结构）。其他可能性包括一个谓语，数模，等再看到这个文件的概述。 $Mod$ $n$

布尔层次结构

通用模式（并非特定于常规语言）归因于Hausdorff。令为一类包含空集和完整集并在有限交集和有限并集下闭合的语言。让是类的形式的所有语言的其中和。以来 $\mathcal{L}$ $\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

X = X_{1} - X_{2} + \dots \pm X_{n}

$\begin{equation} X = X_1 - X_2 + \cdots \pm X_n \end{equation}$

X_{i} \in L

$X_i\in \mathcal{L}$

X_{1} \supseteq X_{2} \supseteq X_{3} \supseteq \dots \supseteq X_{n}

$X_1 \supseteq X_2\supseteq X_3 \supseteq \cdots \supseteq X_n$

，这些类

定义形成层次结构，他们的联合是布尔闭合

。同样，各种起点都是可能的。

D_{n} (L) \subseteq D_{n + 1} (L)

$\mathcal{D}_n(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{D}_{n+1}(\mathcal{L})$

D_{n} (L)

$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

L

$\mathcal{L}$

组复杂度

的结果克罗恩-罗德斯（1966）指出，每个DFA可以通过复位（也称为触发器）自动机和自动机，其转换半群是有限群的级联来模拟。语言的组复杂性是这种语言的最小DFA分解中涉及的最少组数。复杂度为语言是完全没有星星的语言，并且存在任何复杂度的语言。然而，复杂度为的语言的有效表征是未知的。 $0$ $1$

从电路复杂性继承的层次结构

的出发点是很好的文章，其显示特别的是，类被判定的。让，其中 $[1]$ $AC^0 \cap Reg$ $ACC(q) = \{ L \subseteq \{0,1\}^* \mid L \leqslant_{AC^0} MOD_q\}$ 。如果划分，则。一个有趣的问题是要知道是否是可判定的任何。 $MOD_q = \{u \in \{0,1\}^* \mid |u|_1 \equiv 0 \bmod q\}$ $q$ $q'$ $ACC(q) \subseteq ACC(q')$ $ACC(q) \cap Reg$ $q$

$[1]$ Barrington, David A. Mix; Compton, Kevin; Straubing, Howard; Thérien, Denis. Regular languages in $NC^1$ . J. Comput. System Sci. 44 (1992)

— J.-E. Pin
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Expanding the comment: a natural hierarchy is the one induced by the number of states of the DFA.

We can define $\mathcal{L}_n = \{ L \mid \text{ exists an n-states DFA D s.t. } L(D) = L \}$

( $D = \{Q, \Sigma, \delta, q_0, F \}$ , $|Q| = n$ )

Clearly $\mathcal{L}_n \subseteq \mathcal{L}_{n+1}$ (simply use dead states)

To show the proper inclusion $\mathcal{L}_n \subsetneq \mathcal{L}_{n+1}$ we can simply pick the language: $L_{n+1} = \{ a^{i} \mid i \geq n \} \in \mathcal{L}_{n+1}$

$\{ a^{i} \mid i \geq n \}$ $n+1$ $q_0 \to^a q_1 \to^a ... \to^a q_n$ , $F = \{q_n\}$ and $q_n \to^a q_n$ ( $q_n$ has a self-loop). So $n+1$ states are enough to accept $L_{n+1}$ . But every accepting path from $q_0$ to a final state $q_f$ which is strictly shorter than $n+1$ must accept some $a^{i}$ with $i < n$ which doesn't belong to $L_{n+1}$ , so a DFA with $n$ or fewer states cannot accept $L_{n+1}$ .

— Marzio De Biasi
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I recently came across this paper which may give another relevant example (cf. the last sentence of the abstract):

Guillaume Bonfante, Florian Deloup: The genus of regular languages.

From the abstract: The article defines and studies the genus of finite state deterministic automata (FSA) and regular languages. Indeed, a FSA can be seen as a graph for which the notion of genus arises. At the same time, a FSA has a semantics via its underlying language. It is then natural to make a connection between the languages and the notion of genus. After we introduce and justify the the notion of the genus for regular languages, [...] we build regular languages of arbitrary large genus: the notion of genus defines a proper hierarchy of regular languages.

— Damiano Mazza
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There are several natural hierarchies for regular languages of infinite words, that convey a notion of "complexity of the language", for instance:

Number of ranks needed in a deterministic parity automaton
Wadge (or Wagner) hierarchy: topological complexity, $\omega^\omega$ levels.

These hierarchies can be generalised for regular languages of infinite trees, for which new hierarchies appear, see for instance this answer.

— Denis
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