(如何)在没有图灵计算模型的情况下,我们能否发现/分析NP问题?


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从纯粹的抽象数学/计算推理观点来看,(如何)甚至可以发现或推理诸如3-SAT,子集和,旅行商等问题?从功能的角度来看,我们甚至能够以任何有意义的方式对它们进行推理吗?甚至有可能吗?

我一直在纯粹从自我询问的角度考虑这个问题,这是学习lambda微积分计算模型的一部分。我知道这是“非直觉的”,这就是Godel偏爱Turing模型的原因。但是,我只想知道这种计算功能样式的已知理论局限性是什么?对于分析NP类问题将有多少障碍?


对于一个专业地进行语言理论编程的人来说,这不是一个研究级的问题,但是我仍然认为这个问题不值得所有反对。下选民可以告诉我们是什么困扰了他们?也许这个问题可以改善。
安德烈·鲍尔

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@AndrejBauer:我之所以投票,是因为(1)我认为Turing机器和lambda微积分之间的(多项式)等价是众所周知的,并且(2)帖子中有很多绒毛掩盖了核心问题。但是,您的回答表明,发生的事情比我想的要多,所以我可能会反转投票。
哈克·贝内特

我同意绒毛属于探索频道。
安德烈·鲍尔

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@ AndrejBauer,HuckBennet:我最初决定将其发布在计算机科学门户上,但是我找不到相关标签,因此将其发布在这里。我去除了绒毛,以帮助直接了解我想知道的内容。我已经离开我的“理由”来提问,因此将其标记为一个软性问题。我真的很想知道一个人怎么可以纯粹从功能的角度分析NP问题,以及这样做是否确实有任何价值-希望我对Lambda演算有更深入的了解
博士

我认为您问题的核心是是否可以使用Lambda微积分开发复杂性。答案是肯定的,并且在iirc网站上有一个老问题要问。
卡夫

Answers:


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您可能希望查看功能语言的成本语义。这些是经过任何图灵机,RAM机等的功能语言的各种计算复杂性度量。一个不错的起点是这篇Lambda Ultimate帖子,其中提供了许多很好的参考。

Bob Harper的《编程语言实用基础》的7.4节介绍了费用语义。

Accattoli和Coen撰写的关于火球的相对有用性的论文表明,相对于RAM机器模型,微积分最多具有线性爆炸。λ

总而言之,在这颗行星上,NP几乎是相同的,但是缓冲区溢出较少,并且周围没有太多垃圾。


我想那些没有类型的微积分的人仍然会发明(纯)方案。那好吧。λ
安德烈·鲍尔

这是LtU帖子上的一个不错的链接。但是,与证明诸如3Sat之类的“ NP”类的具体示例的任何链接吗?好奇者看到lambda演算中的“证明”
博士

达米亚诺,您可以发表评论作为适当的答案,这表明人们可以直接在微积分中进行NP相关理论。λ
安德烈·鲍尔

@DamianoMazza-我同意安德烈(Andrej)的观点,并相信您的评论应该是一个答案
博士学位

@Andrej:完成!我删除了之前的评论。
Damiano Mazza

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应安德烈(Andrej)和博士的要求,我将自己的评论转化为答案,并对自己的广告表示歉意。

我最近写了一篇论文中,我看看如何证明库克-列文定理( SAT的-completeness)使用函数式语言(λ-演算的变体),而不是图灵机。总结:NP

  • 关键概念是仿射近似,即用仿射近似(可能最多使用一次其输入)来近似任意程序;直觉是 所以仿射λ组术语近似任意计算任意的以及就像布尔电路;
    布尔电路图灵机=仿射 λ-条款λ-条款
    λ
  • 结果是,在微积分世界中,证明是“更高层次的”证明,它使用阶理论,斯科特连续性等,而不是破解布尔电路。特别是,口号“ computation is local”(由库克-莱文定理所依据的信息给出,由许多人给出)的口号如预期的那样变为“ computation is Continuous”。λ
  • 然而,“自然” -complete问题不是CIRCUIT SAT但HO CIRCUIT SAT,一种线性λ-术语“可解”的,或更精确地说,线性逻辑证明网(这是像高阶布尔电路) ;ñP
  • 当然,然后可以将HO CIRCUIT SAT简化为CIRCUIT SAT,从而证明了通常的Cook-Levin定理,而复杂的低级细节都移到了建立这样的简化上。

因此,这将改变“在地球的这一边”的唯一事情是,也许,我们会考虑一个λ演算相关的问题,而不是布尔电路有关的问题,是“原始” -完整的问题。ñP

旁注:上述证明可以在Accattoli的的变体被重新演算与安德烈的答案,这也许不是更标准中提到的线性明确的替代λ在我的论文演算我使用。λλ


ñP

λ

λ

ñPñPCØñPλ

λλ

ñPλ,如果您知道自己的直觉是正确的,那并不重要。图灵机给出了立即可行的答案,人们没有(而且仍然没有)觉得有必要走得更远。


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只是澄清了许多遗漏:Steve证明了TAUT的NP完全性,而SAT的证明则隐含在其中。减少Karp的概念当时还不存在。还需要注意的是,TAUT是Steve对这个话题感兴趣并成为自动定理证明的核心的原因,人们对线性Lambda项的可解性是否也同样感兴趣?替代发展是可能的,但是如果没有NP完整性的预知,它会发生吗?考虑到替代发展是最近才出现的,我发现这不太可能。:)
卡夫

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我记得在某个地方读过莱文发展NP完全性动机的部分原因是无法解决图同构和最小电路尺寸问题(MCSP),并希望证明它们是(现在称为NP)难点。至少在lambda的世界中仍然会存在GI ...
Joshua Grochow '16

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@Kaveh,感谢您的评论,我添加了一些段落来完善答案。
Damiano Mazza

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@ Josh,TAUT和SAT也是如此。
卡夫
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