是否正在确定是否更改一个条目会降低多项式层次结构中矩阵的永久性？

考虑以下问题：给定矩阵，索引和一个整数。替换由，并调用新的矩阵。是吗？ $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ $i,j\in\{1,\dots,n\}$ $a$ $M[i,j]$ $a$ $\hat M$ $per(M)>per(\hat M)$

多项式层次结构中是否存在此问题？

permanent

— T ...
source

可以通过两次调用#P oracle来解决...如果它在PH中，则意味着PP也在PH中...但是，如果PP在PH中，则PH崩溃。因此，我认为它不太可能处于PH中。

— Tayfun Pay'2

@TayfunPay我认为这种说法是不正确的。可以通过两次调用#P来解决该问题，但不能如此轻松地排除它，以至于有一种更简单的算法可以表明它在PH中。您必须证明#P很难做到这一点，例如通过减少“永久”来实现。

— Jan Johannsen

如果插入永久物的定义并简化所得不等式，则问题将归结为以下问题：给定（n-1）×（n-1）矩阵的永久物是否严格为正。

— 加莫

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$ 返回true。

— Holf

@holf：我认为您应该将其发布为答案。它非常明确地回答了问题，然后问题将不再显示为“未回答”。

— Joshua Grochow

给定，您的问题等同于测试。 $M$ $PER(M) > 0$

证明：假设给定并且您想确定是否。我们构建如下：它是容易看出。现在，定义是，我们更换进入由。通过多线性，可以得出。因此，当且仅当 $M$ $PER(M) > 0$ $M'$

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$

M^{'}

$M'$

(0, 0)

$(0,0)$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$

现在假设给定，和并按照问题中的定义，即将更改为。我们有 $M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

其中是通过删除第行和第列从获得的乘矩阵。 $M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— 霍尔夫
source

好的答案，但是也有必要明确说明OP的问题的答案。

— 斯特拉·彼德曼