为什么用自然而不是整数？

我对自然数为何受到编程语言理论和类型理论书籍（例如J. Mitchell，编程语言基础和B. Pierce，类型与编程语言）的作者如此钟爱的原因感兴趣。简单类型的lambda微积分的描述，尤其是PCF编程语言，通常是基于Nat和Bool的。对于使用和教学通用工业PL的人来说，用整数代替自然数更自然。您能提及PL理论家偏爱nat的一些好理由吗？除此之外，它还不那么复杂。有任何根本原因还是仅仅是一种荣誉？

UPD对于所有关于自然的“基本性”的评论：我对所有这些很酷的东西都非常了解，但是我更希望看到一个示例，说明在PL理论的类型理论中拥有这些属性确实至关重要。例如，广泛提到的归纳法。当我们有任何一种逻辑（简单地键入LC就是这种逻辑）时，就像基本的一阶逻辑一样，我们确实使用归纳法，但是对派生树（在lambda中也有）进行归纳。

我的问题基本上来自行业人士，他们想要获得一些编程语言的基本理论。他们曾经在程序中使用整数，却没有具体的论据和对正在研究的理论（在本例中为类型论）的应用，为什么只用nat来学习语言，他们感到非常失望。

简短的答案：自然是第一个极限序数。因此，它们在公理化集合论（例如，无穷公理是它们存在的断言）和逻辑中起着核心作用，并且PL理论家倾向于与逻辑学家分享基本的关注点。我们希望能够使用归纳原理来证明总体正确性，终止性和相似属性，并且自然是井然有序的（自然）选择。

不过，我不想暗示有限宽度的二进制整数不是那么酷的对象。它们是p-adics的表示，并允许我们在数论和组合论中使用幂级数方法。这意味着它们的重要性在算法学上比PL更加明显，因为这是我们开始更加关注复杂性而不是终止的时候。

自然是比整数更基本的概念。

归纳发生在自然数上，并且可以通过简单加一元逆算子从自然数导出整数。

我实际上会想问一个相反的问题：为什么早期的编程语言（和注册机）设计人员为什么在整数如此次要且很容易从自然派生时将整数作为基本数据类型呢？

我怀疑这仅仅是因为有一些很酷的二进制编码可以优雅地处理整数。;-)

想一想，您想多久忽略一次编程整数的负数范围，并考虑使脉冲具有无符号整数类型来恢复丢失的位。

在和Z之间存在可计算的双射。因此，仅使用自然数就足以推理出可计算性之类，而始终知道结果会泛化为整数（以及有理数和所有其他递归可枚举的集合）就足够了。$\mathbb{N}$$\mathbb{Z}$

仅凭自然推理是很方便的，因为您有归纳法，并且是一个自然顺序≤的有充分依据的集合。后者尤其重要，因为可以在终止证明中使用该工具。虽然您可以在Z上定义良好的顺序，但它却不方便，因为它与通常的顺序不匹配。$\mathbb{N}$$\leq$$\mathbb{Z}$

另一个原因（与已经给出的原因有关，但是这个答案确实增加了新的信息）是自然的非常简单，无商的构造，并且伴随着很好的归纳原理（如前所述）。 。关于整数的无商构造很难解决。

我在需要高度保证的地方进行的编程越多，就越需要自然，而我发现只有预定义的整数对我来说确实很痛苦。

有没有充分的理由为什么PL理论家更喜欢自然而不是整数？有一些，但是在一本关于编程语言语义的教科书中，我认为没有必要这样做的技术原因。除了依赖类型系统之外，我无法想到在PL理论中对数据进行归纳很重要的任何地方。Mike Gordon，David Schmidt，Bob Tennent和John Reynolds的其他教科书则没有这样做。（而且，这些书可能更适合教那些关心通用工业PL的人！）

所以，在那里，你有证据证明它是没有必要的。实际上，我认为一本好的PL理论教科书应该以编程语言的原始类型为参数，并且以其他方式提出建议是令人误解的。

自然和布尔和对它们的操作可以以简单的方式在纯lambda演算中进行编码，即所谓的教堂数字（我猜是教堂布尔）。虽然显然可以做到，但尚不清楚如何对整数进行很好的编码。