自动机识别

令为有限字母。甲代码超过的一个子集，使得在每一个字可以唯一表示为字的级联。如果则代码是有限的是有限的。我们所了解的（最小）自动识别在有限的码？这种自动机是否有任何特征（就自动机的结构而言，不知道）？有这种自动机，是否有可能在多项式时间内提取代码？ $\Sigma$ $X$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $X^*$ $X$ $X$ $|X|$ $X^*$ $X$ $X$ $X$

当我们忽略是代码这一事实时，我也对这些问题感兴趣，即仅假设是一组有限的单词。 $X$ $X$

automata-theory

— 安德鲁·里奇科夫（Andrew Ryzhikov）
source

您想了解这种自动机的哪些知识？似乎很容易为DFA构建DFA

X^{*}

$X^*$ 其大小可以很容易地表征（基本上是字符串中唯一前缀的数量）

X

$X$ ，因此最多是中的字长之和

X

$X$ ; 特别是多项式大小）。有了这样的DFA，从中提取代码字似乎也很容易

X

$X$ 通过枚举从起始节点到其自身的所有周期。您的问题具体是什么？您已经做了什么思考？请参阅我们的帮助中心的“问题应基于...”部分。

— DW

@DW，显然，并非所有自动机都具有此属性。因此，我问这种自动机是否存在（希望是多项式）特征。另外，我看不出如何提取

X

$X$ 通过枚举从初始状态到其自身的所有周期。实际上，可以有无限多个循环，因为我们不能只限于没有自相交的循环。您能更具体一点吗？

— Andrew Ryzhikov

如果我理解正确，则您询问了最小自动机。我认为所有最小DFA都会与我描述的同构。如果您要询问所有自动机（不一定是最小自动机），建议您编辑问题以澄清。我不明白为什么您不能只限制没有自相交的循环；无前缀属性意味着这样做是安全的，如果

X

$X$ 是有限的，这样的循环将有限。我建议您考虑一下问题，然后编辑问题以共享到目前为止可以得出的所有结果。

— DW

是不是这个问题一样的第一个版本cstheory.stackexchange.com/questions/4284/...，其中

K

$K$ 和

K^{'}

$K'$ 可能有所不同，除了您还要求运行时间？

— domotorp '17

@domotorp是的，可以在多项式时间内检查一组单词是否是一个代码，这是众所周知的事实（请参阅例如www-igm.univ-mlv.fr/~berstel/LivreCodes/ Codes.html，第0.4小节）。我想要的是，只有一个最小的自动机来识别某些东西，然后检查这是否是代码的明星。

— Andrew Ryzhikov

由于这个问题很长一段时间都没有得到答案，所以让我对问题的第一部分提供部分答案：

关于（最小）自动机识别的知识 $X^∗$ 对于有限的代码 $X$ ？

给定有限的单词 $X$ ，该花自动机的 $X^*$ 是有限的不确定自动机 $\mathcal{A} = (Q, A, E, I, F)$ ，在哪里 $Q = \{1, 1\} \cup \{ (u, v) \in A^+ \times A^+ \mid uv \in X \}$ ， $I = F = \{(1,1)\}$ ，具有四种类型的过渡：

\begin{aligned} (u, a v) & \overset{a}{⟶} (u a, v) such that u a v \in X, (u, v) \neq (1, 1) \\ (u, a) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that u a \in X, u \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (a, v) such that a v \in X, v \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that a \in X} \end{aligned}

$\begin{align*} (u, av) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (ua, v) \text{ such that } uav \in X,\ (u, v) \neq (1,1) \\ (u, a) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } ua \in X,\ u \neq 1 \\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace(a, v) \text{ such that } av \in X,\ v \neq 1\\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } a \in X \bigr\} \end{align*}$ 不难看出，该自动机可以识别

X^{*}

$X^*$ 。例如，如果

A = {a, b}

$A= \{a, b\}$ 和

X = {a, b a, a a b, a b a}

$X = \{a, ba, aab, aba\}$ ，的花自动机

X^{*}

$X^*$ 以下是

$\qquad\qquad\qquad$

回想一下，如果给定两个状态，则自动机是明确的 $p$ 和 $q$ 还有一个字 $w$ ，从这里最多只有一条路 $p$ 至 $q$ 带标签 $w$ 。然后，以下结果成立：

定理 [1，Thm 4.2.2]。套装 $X$ 是代码iff的花朵自动机 $X^*$ 是明确的。

花自动机还具有代数性质，使其相对接近最小自动机。此属性适用于任何有限集 $X$ ，但是通过消除空词（即将一种语言视为 $A^+$ 代替 $A^*$ 。

回想一下有限的半群 $R$ 是本地琐碎，如果，每个幂等 $e \in R$ ， $eRe = \{e\}$ 。态射 $\pi:R \to S$ 是局部平凡，若对所有幂等 $e$ 在 $S$ ，半群 $\pi^{-1}(e)$ 在当地是微不足道的。

过渡半群 $T$ 花自动机的 $X^+$ 被称为 花半群的 $X^+$ 。以来 $T$ 认识到 $L^+$ ，有一个射影射态 $\pi$ 从 $T$ 进入句法半群 $S$ 的 $X^+$ 。

定理。态射 $\pi:T \to S$ 在当地是微不足道的。

该结果的重要结果是花半群和句法半群具有相同数量的规则 $\mathcal{J}$ 类。

参考文献

[ 1 ] J. Berstel，D。Perrin，C。Reutenauer，代码和自动机。数学及其应用百科全书，129。剑桥大学出版社，剑桥，2010。xiv + 619 pp。ISBN：978-0-521-88831-8

— J.-E. 销
source