如何不计算包含有限的一组圆的最小圆

假设我们有一个有限集 $L$ 中的磁盘 $\mathbb{R}^2$ ，我们希望计算最小磁盘 $D$ 为其 $\bigcup L\subseteq D$ 。做到这一点的标准方法是使用Matoušek，Sharir和Welzl [1]的算法找到了基础 $B$ 的 $L$ ，并让 $D=\langle B\rangle$ ，最小的盘片容纳 $\bigcup B$ 。磁盘 $\langle B\rangle$ 可以使用代数的事实是，由于计算 $B$ 为基础，在每个磁盘 $B$ 相切 $\langle B\rangle$ 。

（ $B\subseteq L$ 为基础的 $L$ 如果 $B$ 是最小的，使得 $\langle B\rangle=\langle L\rangle$ 甲基础具有至多三个元件;在一般用于在球 $\mathbb{R}^d$ 的基础具有至多 $d+1$ 。元素）

它是如下的随机递归算法。（但请参见下面的迭代版本，这可能更易于理解。）

过程： $MSW(L, B)$
输入：有限的磁盘 $L$ ， $B$ ，其中 $B$ 是（ $B$ ）的基础。

如果 $L=\varnothing$ ，返回 $B$ 。
否则选择 $X\in L$ 随意。
让 $B'\leftarrow MSW(L-\{X\}, B)$ 。
如果 $X\subseteq\langle B'\rangle$ 然后返回 $B'$ 。
否则返回，其中是的基。 $MSW(L, B'')$ $B''$ $B'\cup\{X\}$

用作以计算的基础。 $MSW(L, \varnothing)$ $L$

最近，我有理由实现此算法。在验证了数百万个随机生成的测试用例中的结果正确之后，我注意到我在实现中犯了一个错误。在最后的步骤我被返回，而不是。 $MSW(L-\{X\}, B'')$ $MSW(L, B'')$

尽管存在此错误，该算法仍给出正确的答案。

我的问题：为什么这种算法的错误版本在这里显然给出正确的答案？它总是（证明）有效吗？如果是这样，那么在更高维度上也是如此吗？

补充：一些误解

几个人提出了不正确的论据，以至于修改后的算法是完全正确的，因此在这里避免一些误解可能很有用。一个普遍的错误信念似乎是。这是该主张的反例。鉴于磁盘如下面（的边界也以红色显示）： $B\subseteq\langle MSW(L, B)\rangle$ $a,b,c,d,e$ $\langle a,b,e\rangle$

我们可以有 ; 并注意： $MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})=\{c,d\}$ $e\notin\langle c,d\rangle$

这是可能发生的情况。第一个观察结果是： $MSW(\{c\},\{a,b,e\})=\{b,c\}$

我们希望计算 $MSW(\{c\},\{a,b,e\})$
选择 $X = c$
设 $B' = MSW(\varnothing, \{a,b,e\}) = \{a,b,e\}$
观察到 $X\notin\langle B'\rangle$
因此，让是的基 $B''$ $B'\cup\{X\} = \{a,b,c,e\}$
观察到 $B''=\{b,c\}$
返回，即 $MSW(\{c\}, \{b,c\})$ $\{b,c\}$

现在考虑。 $MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})$

我们希望计算 $MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})$
选择 $X=d$
设 $B' = MSW(\{c\}, \{a,b,e\}) = \{b,c\}$
观察到 $X\notin\langle B'\rangle$
因此，让是的基 $B''$ $B'\cup\{X\} = \{b,c,d\}$
观察到 $B''=\{c,d\}$
返回，即 $MSW(\{c,d\}, \{c,d\})$ $\{c,d\}$

（对于定性的目的，让我们说，磁盘都具有半径为2，并且在居中，，，，和分别）。 $a,b,c,d,e$ $(30,5)$ $(30,35)$ $(10, 5)$ $(60, 26)$ $(5, 26)$

添加：迭代演示

考虑算法的迭代表示可能会更容易。我当然会发现将其行为形象化会更容易。

输入：列表磁盘的输出：的基础上 $L$
$L$

令。 $B\leftarrow\varnothing$
随机随机播放 $L$
对于每一个在： $X$ $L$
如果： $X\notin\langle B\rangle$
让是依据。 $B$ $B\cup\{X\}$
返回步骤2。
返回。 $B$

其原因算法终止，顺便说一句，是步骤5总是增加的半径 -并且只有有限多个可能值。 $\langle B\rangle$ $B$

据我所知，修改后的版本没有如此简单的迭代演示。（我曾尝试在上一篇文章中对此文章进行编辑，但这是错误的-并给出了错误的结果。）

参考

[1]JiříMatoušek，Micha Sharir和Emo Welzl。线性编程的次指数界。Algorithmica，16（4-5）：498-516，1996。

cg.comp-geom linear-programming computational-geometry

— 罗宾·休斯顿
source

首先，在您的“输入：...”行中，我想您要使用“（L）”而不是“（B）”。其次，当返回MSW（L- {X}，B''）而不是MSW（L，B''）时，您的基数B''被定义为[B'联合{X}]的基数，因此X为即使您将其从集合中删除，仍然可以确保它被MSW（L- {X}，B''）覆盖。

— JimN

不，我的确在这里是“（B）”的意思，在递归调用中B不一定是L的子集。BL的元素不一定由MSW（L，B）覆盖，如本例中的bl.ocks.org/robinhouston/c4c9dffbe8bd069028cad8b8760f392c其中

和

（按小箭头按钮逐步进行计算。）

L = {a, b, c, d}

$L=\{a,b,c,d\}$

B = {a, b, e}

$B=\{a,b,e\}$

— 罗宾·休斯顿

在继续递归之前从删除这一步骤实际上改善了算法，因为它从基本候选项池中删除了已经添加的由于它等同于现有算法，因此它将始终有效地起作用，并且还将适用于更高维度。 $X$ $L$ $X$

跟踪算法。当使用，有和。假设我们在步骤2中再次选择它不管步骤3的结果的将始终有，因为递归函数具有不变。 $MSW(L,B^{\prime\prime})$ $X \in L$ $X \in B^{\prime\prime}$ $B^\prime$ $X$ $B \subseteq MSW(L,B)$

换句话说，您在选择的部分中对算法快捷方式的改进（第3步）。 $X$

— 拉里·B。
source

B \subseteq M S W (L, B)

$B\subseteq MSW(L,B)$ in general. Have a look at the example linked in my comment on the question.

— Robin Houston

Neither is it true in general that

X \in B^{″}

$X\in B''$ , for that matter! Did you mean

X \in ⟨ B^{″} ⟩

$X\in\langle B''\rangle$ ? I suspect if you try to explain your argument more rigorously, you will see that it does not work.

— Robin Houston

NB. It isn’t even true in general that

B \subseteq ⟨ M S W (L, B) ⟩

$B\subseteq\langle MSW(L, B)\rangle$ .

— Robin Houston

I’ve added a section to the question giving a counterexample to

B \subseteq ⟨ M S W (L, B) ⟩

$B\subseteq\langle MSW(L,B)\rangle$ , since several people have supposed it to be true.

— Robin Houston

Oh, I totally missed that!

B^{''} = ⟨ B^{'} \cup X ⟩

$B^{\prime\prime} = \langle B^\prime \cup X \rangle$ . Yeah, this answer is totally wrong. Should I delete it?

— Larry B.