比较整数列表的两个乘积？

假设我有两个经度正整数的列表，并且取每个列表的所有元素的乘积。确定哪个产品更大的最佳方法是什么？

当然，我可以简单地计算每个乘积，但是我希望有一种更有效的方法，因为乘积中的位数将随着项的数量线性增加，因此整个计算是二次的。

如果我要添加而不是相乘，则可以使用“压缩策略”，即从第一个列表中增量添加项，然后从第二个列表中减去，从而避免了计算（大）总和的需求。产品的类似技术将是对条目的对数求和，但是现在的问题是，计算对数需要使用不精确的算法。除非有某种方法可以证明数值误差无关紧要？

time-complexity nt.number-theory

— 用户名
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如果我们知道最大整数值并且该值与n（即常数k）无关，则可以制作一个查找表，列出从1到k的所有数字的因数。现在，我想如果您将所有内容都写成基数[因数的乘积]，则它会变成线性的，因为您可以用该基数以线性时间计算乘积，然后依次比较每个数字（从最高位开始），直到一个大于另一个。细节有些棘手，但如果k为常数，那应该可以。

— 菲利达

0

$0$

n

$n$

m

$m$

C (m, m) + C (m, 2 m) + . . . + C (m, (n - 1) m)

$C(m,m)+C(m,2m)+...+C(m,(n-1)m)$

C (x, y)

$C(x,y)$

x

$x$

y

$y$

math.stackexchange.com/a/1081989/10385中

— xavierm02 '17

天真的方法的改进：计算每个因子的出现次数（以线性时间为单位），并使用有效的赋能算法仅计算最后的乘积。这在时间

起作用，即

O (M (n))

$O(M(n))$

采用当前渐近最快的方法。

O (n \log n 2^{O (\log^{*} n)})

$O(n\,\log n\,2^{O(\log^*n)})$

— 埃米尔·杰拉贝克（EmilJeřábek）'17

我会考虑所需的日志准确性。实际上可能更有效。

— 埃米尔·杰拉贝克（EmilJeřábek），

（我了解问题的描述，因此输入数字受常数限制，因此我不会跟踪对界限的依赖性。）

使用对数和可以在线性时间和对数空间中解决该问题。更详细地，算法如下：

使用二进制计数器，对两个列表中每个可能的输入数字的出现次数进行计数。

$O(n)$ $O(\log n)$ $n$

$p_1,\dots,p_k$ $O(1)$ $a$ $a$ $O(\log n)$

$\beta_1,\dots,\beta_k$ $O(\log n)$ $\Lambda:=\sum_{i=1}^k\beta_i\log p_i$

$\beta_1=\dots=\beta_k=0$

$\Lambda\ne0$

| Λ | > 2^{- C \log n}

$|\Lambda|>2^{-C\log n}$

C

$C$

Λ

$\Lambda$

$\sum_{i=1}^k\beta_i\pi_i$ $\pi_i$ $\log p_i$ $m:=C\log n+k+1$

$M(m)$ $m$ $M(m)=O(m\,\log m\,2^{O(\log^* m)})$ $O(m^2)$ $\log p_i$ $m$ $O(M(m)\log m)$ $\sum_i\beta_i\pi_i$ $O(M(m))$ $O(M(m)\log m)\subseteq O(\log n\,\mathrm{poly}(\log\log n))$

$O(n)$

— 埃米尔·杰拉贝克（EmilJeřábek）
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谢谢！稍后，我将不得不处理所有细节，但这似乎很有希望！

— user168715