高阶算法

从它们的输入和输出是“普通”数据的意义上讲，大多数众所周知的算法都是一阶的。有些是简单的二阶方法，例如排序，哈希表或map和fold函数：它们是通过函数进行参数化的，但是除了在其他输入数据上调用它外，它们实际上并没有做任何有趣的事情。

有些也是二阶的，但更有趣：

• 由monoids参数化的手指树
• 在单调谓词上分裂手指树
• 前缀和算法，通常又用一个monoid或谓词等参数化。

最后，在我最感兴趣的意义上，有些是“真正的”高阶：

• Y组合器
• 差异清单

是否存在其他非平凡的高阶算法？

为了澄清我的问题，在“非平凡的高阶”下，我的意思是“在算法的接口和/或实现中以关键的方式使用计算形式主义的高阶设施”

http://math.andrej.com/上有很多高阶函数，例如在有关双指数的帖子中，出现以下Haskell类型（类型同义词已扩展）：

shift :: Bool -> ((Int -> Bool) -> Bool) -> ((Int -> Bool) -> Bool)

您也可以通过A Haskell Monad无限时无限搜索帖子获得很多乐趣-例如：

newtype S a = S ((a -> Bool) -> a)
bigUnion :: S (S a) -> S a

我猜想bigUnion的类型是4或5阶！

尽管通常没有在这些术语中明确描述，但有一堆算法是“真正的二阶”。每当我们有次线性时间算法时，隐式就是对输入的某种oracle访问，即，实际上将输入视为函数。

例子：

（1）使用“分离预言”时的椭球算法（例如，http : //math.mit.edu/~vempala/18.433/L18.pdf）

（2）亚模块功能的最小化（例如http://people.commerce.ubc.ca/faculty/mccormick/sfmchap8a.pdf）

（3）属性测试的整个领域实际上就是这种形式（http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/test.html）

（4）查询模型中的组合拍卖（例如 http://pluto.huji.ac.il/~blumrosen/papers/iter.pdf）

这个问题还有另一个答案：没有。更具体地，任何这样的（可执行！）较高阶算法是机械地等效于一阶算法，利用去官能化。

更准确地说：尽管确实存在实际的高阶算法，但实际上始终可以将每个实例重写为纯一阶程序。换句话说，没有饱和的高阶程序-实质上是因为程序的输入/输出是位字符串。[是的，这些位串可以表示功能，但这就是要点：它们表示功能，不是功能]。

已经给出的答案非常好，我的答案不应被认为与它们矛盾。应该认为它是在稍大的上下文（完整的程序而不是独立的算法）中回答问题。上下文的这种变化从根本上改变了答案。我的答案是要提醒人们这一点，这太容易忘记了。

在解析器组合器库中，功能的顺序通常很高。查看甚至更高阶的函数进行解析，或者为什么有人要使用六阶函数？克里斯·冈崎（Chris Okasaki）。Journal of Functional Programming，8（2）：195-199，1998年3月。

可计算分析以编程方式表征实数，因为实数包含无限量的信息，因此在问题意义上对实数的运算是高阶的。通常，使用无限位流（康托尔空间）上的拓扑视图来表示实数，从而使可计算拓扑的领域更为广泛。

克劳斯·魏拉赫（Klaus Weihrach）将其称为可计算拓扑有效性的第二类层次结构。有关更多信息，请参见Weihrach＆Grubba，2009年，《基本可计算拓扑》，以及John Tucker的研究页面，《使用拓扑数据进行计算》。我在问题“ Cantor Space的应用”中提到了塔克的页面。

甲连续模功能是地图m，它接受一（连续）的功能F : (nat -> nat) -> nat，并输出一个数k，使得F f = F g无论何时f i = g i所有i < k。有一些算法可以计算连续性模量（不是很有效），因此使其成为三阶算法的一个实例。

为了补充Noam的答案，在几种情况下，使输出成为函数（明确表示）也很重要。

$C: \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}^m$$A$ $(\alpha,L,\epsilon)$$C$$n$$A$$M_1,\dots,M_L$

$\begin{align}\forall w \in \\{0,1\\}^m, Pr_A [&\forall m,~(Ag(C(m),w) \geq \alpha \Rightarrow \\\ &\exists i \in [L],~\forall j \in [n],~Pr_{M_i}[M_i(j) = m_j] \geq 1-\epsilon)] \geq 2/3\end{align}$

$Ag$$A$$2/3$$\epsilon$$m$$m$$\alpha$

在图算法中，顶点和边通常被认为是纯数据，但实际上可以将它们有效地概括起来，以便按需以编程方式生成它们。

在攻读博士学位（计算化学）期间，我以高阶形式实现了许多图算法，以便将它们应用于隐式图的分析，这主要是因为我的实际图是无限的，所以我无法显式存储它们！具体而言，我正在研究以晶胞（超级晶胞）的3D拼贴形式表示的非晶材料的拓扑。

例如，您可以编写一个函数来计算原始顶点的第n个最近的邻居壳，i如下所示：

nth i 0 = {i}
nth i 1 = neighbors i
nth i n = diff (diff (fold union empty (map neighbors (nth i (n-1)))) (nth i (n-1))) (nth i (n-2))

其中neighbors的一个函数可将一组相邻顶点返回给定顶点。

例如，二维方格：

neighbors (x, y) = {(x-1, y), (x+1, y), (x, y-1), (x, y+1)}

在这种情况下，其他有趣的算法包括Franzblau的最短路径环统计。