查找具有高树宽和恒定度的子图

我给定图与树宽和任意程度，我想找到一个子图的（不一定是导出子），使得具有恒定度和其树宽是尽可能的高。形式上，我的问题是：中选择了一个度数 “最佳”函数是什么这样，在任何图，树宽，我可以（希望有效地）找到的子图，其最大度数和树宽$G$ $k$$H$$G$$H$$d \in \mathbb{N}$$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$G$$k$$H$$G$$\leq d$$f(k)$。

显然，我们应采用因为不存在最大度数高树宽图。对于我知道您可以通过吸引Chekuri和Chuzhoy的网格次要提取结果（并使用它来提取高点来取使得左右。-treewidth degree-3图形（例如，作为拓扑次要的墙），子图的计算是可行的（在RP中）。但是，这是一个非常有力的结果，而且要有详尽的证明，因此将其用于看起来更简单的问题是错误的：我只想找到一个$d \geq 3$$<3$$d = 3$$f$$f(k) = \Omega(k^{1/100})$恒定度，高树宽的子图，而不是特定的结果。此外，的界限不如我希望的那样好。当然，已知它可以做成（直至放弃计算效率），但是我希望可以使用类的东西。因此，是否有可能表明，给定树宽为的图形，存在一个恒定且度数为的的子图？$f$$\Omega(k^{1/20})$$\Omega(k)$$G$$k$$G$$k$

我也对路径宽度而不是树宽完全相同的问题感兴趣。对于路径宽度，我不知道任何与网格次要提取类似的东西，因此问题似乎更加神秘……

请参见Julia Chuzhoy和我本人关于Treewidth sparsifiers的论文。我们表明，一个人最多可以得到树度的度为3的子图，其中是的树宽。 https://arxiv.org/abs/1410.1016证明比网格未成年人的证明短，但是它仍然不是那么简单，并且建立在以前的几种工具上。$\Omega(k/polylog(k))$$k$$G$

假设您确定了一个更简单的目标-4度和树宽那么通过Reed和Wood对类似网格的未成年人的结果，您可以更轻松地获得它。https://arxiv.org/abs/0809.0724$\Omega(k^{1/4})$

您可以获得的另一个简单结果是以下内容，这是一些更复杂的证明的起点。您可以得到degre 和treewidth。您可以参阅treewidth sparsifier文章作为实现此目的的参数。$\log^2(k)$$\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$