计算幂之间距离的算法

给定互质，您可以快速计算 $a, b$

min_{x, y > 0} | a^{x} - b^{y} |

$\min_{x, y > 0} |a^x - b^y|$

在此， $x, y$ 是整数。显然，使 $x = y = 0$ 给出了一个没有意思的答案；通常，这些权力能达到多近的距离？另外，我们如何快速计算最小化 $x, y$ ？

— 高塔姆
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您知道那甚至可以计算吗？

如果您修复

x

$x$ ，则很容易证明，对于最小化器，

y \in {⌊ x \cdot \frac{\log a}{\log b} ⌋, ⌈ x \cdot \frac{\log a}{\log b} ⌉}

$y \in \left\{ \left\lfloor x \cdot \frac{\log a}{\log b} \right\rfloor , \left\lceil x \cdot \frac{\log a}{\log b} \right\rceil \right\}$ 。这将其简化为一维搜索。

— 托马斯

请不要同时交叉发布，或至少链接到其他帖子。mathoverflow.net/questions/283903/…–

— usul

-2

首先，我认为最好使用的连续分数并对其收敛进行测试，因为在那个收敛处，在某种意义上存在一些点是最佳近似值。之后，很明显，需要至少使用广义连续分数来确保具有单调递减的距离。此后，使用这种复杂的算法，以下蛮力算法在Pari / GP中甚至更快 $\log(a)/\log(b)$ $(x,y)$

\\ print X,Y,d conditional X>lowboundX, Y > lowboundY, d<upperboundD
{pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d)=if(X<lbX || Y<lbY || abs(d)>ubd,return(0)); 
                  print(a,"^",X,"-",b,"^",Y,"=",d)); }


{mylist(maxa=19,maxb=99,lbX=3,lbY=2,ubd=100)=print(" ");
for(a=2,maxa,for(b=a+1,maxb,
     if(gcd(a,b)>1,next()); \\ ignore trivial multiples
     X=1;Y=1;Xa=a;Yb=b;
     d=Xa-Yb;  pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d);
     for(k=1,20, 
        while(d<0,Xa*=a;d=Xa-Yb;X++;pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d););
        while(d>0,Nb*=b;d=Xa-Yb;Y++;pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d););
        if(X>30 || Y>20, break());  \\ stop at max X=30 or Y=20 
       );
   )); }

在此之后，mylist(100,1000,3,3,100)查找与所有细微差别，其中对于所有底数，两个指数均至少为和。仅检查和。 $|d| \lt 100$ $3$ $a=2..100$ $b=(a+1) .. 1000$ $\max (X)=30$ $\max(y)=20$

这比连续分数方法要快得多（后者也有更多不友好的问题（例如解决方案的完整性），这些问题很难处理），尽管这是一种幼稚的算法……

协议（手动订购）：

gettime();mylist(200,10 000,3,3,100);gettime() /1000.0 \\ ~ a*b/6000 sec
  (400 sec)

 2^8- 3^5= 13

 6^7-23^4= 95
 2^7- 3^4= 47

 2^7- 5^3=  3
 2^5- 3^3=  5
 3^4- 4^3= 17

---------------
 2^6- 3^4=-17

 3^5- 4^4=-13
 2^5- 3^4=-49

 2^8- 7^3=-87
(4^4- 7^3=-87)

 3^7-13^3=-10
 2^6- 5^3=-61
(4^3- 5^3=-61)
 2^5- 5^3=-93

 2^4- 3^3=-11
 3^4- 5^3=-44
 6^4-11^3=-35
15^4-37^3=-28

 3^3- 4^3=-37
 3^3- 5^3=-98
 5^3- 6^3=-91

— 戈特弗里德·赫尔姆斯
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