除自然数外，集合上是否有可计算性的概念？

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除自然数外，集合上是否有可计算性的概念？为了讨论的方便，我们假设上套与biject。 $S$ $\mathbb{N}$

诱人地说“是的，它们是形式为那些函数，其中是任何双射而是任何可计算的函数 “。我对这个定义持谨慎态度，原因有两个。 $g \circ f \circ g^{-1}$ $g$ $\mathbb{N} \to S$ $f$ $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

它赋予高于其他可数集的特权。为什么在定义可计算性方面很特殊？我想要一种可计算性的“无坐标”定义，而无需引用任何特权集，就像我喜欢一种线性代数概念的“无坐标”定义而无需参考任何特权基础一样。 $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$
提出了有关的选择的问题。我怀疑通过特殊的和病理选择可能会发现矛盾。例如，如果我选择并且一些不可计算的双射，那么是否真的可以对所有可计算计算呢？ $g$ $S$ $g$ $S = \mathbb{N}$ $g$ $g \circ f \circ g^{-1}$ $f$

在定义中要求是可计算的，这很诱人，但不幸的是，这是个难题。 $g$

除了之外，是否有一些通用的方法来描述可数集上的可计算性？ $\mathbb{N}$

computability

— 汤姆·埃利斯
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1

好吧，除了，可计算性还经常在上定义，其中是一个有限的字母...但是同样，这些定义的区别在于可计算的双射（也就是说，在一个方向上，可以使用定义进行计算，而在相反的方向上，可以使用定义进行计算）。所以您绝对可以做到，因为您的和都是可计算的，但是我同意这是一个更笼统的问题……

N

$\mathbb{N}$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

Σ

$\Sigma$

N \to Σ^{*}

$\mathbb{N} \to \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

g

$g$

g^{- 1}

$g^{-1}$

— Joshua Grochow

1

切片系统，元胞自动机，标签系统等计算模型又如何呢？

— Marzio De Biasi

2

为什么我们不对其他可数集赋予

特权？我们这样做的理由非常强烈：CPU（即进行计算的事物）可以在

（或

上的有限字符串，这基本上是同一件事）上工作。当然可以选择其他集合，但是为什么有人应该接受您的定义？除了将它与

（即CPU）上的计算相关联之外，您如何证明您所说的可计算性实际上是什么？

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

B

$\mathbb{B}$

N

$\mathbb{N}$

— Martin Berger

1

@马丁，我给一个说法，我的回答是我们的特权

超过

至少在一定程度上有关于时间复杂度。如果不进行内省，这是错误的原因是，当它们实际上只是模型的工件时，我们可能会认为某些结果是自然的。

{0, 1}^{*}

$\{0,1\}^*$

N

$\mathbb{N}$

— Dan Brumleve

1

您是否出于某些原因而只将注意力集中在可数集合上？

— 安德烈·鲍尔

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这个问题不是研究级的，但是由于它正在收到答案，所以我想提供一个可能实际上可以解决问题的答案，并提供参考。

理论计算机科学的整个领域都研究分析，代数和拓扑中的可计算性。实数的可计算性概念至关重要。实际上，图灵在图灵机上的原始论文以以下句子开头：

“可计算”数可以简要地描述为实数，其实数为十进制，可以通过有限方式计算。

有时值得回头。

在通用集上设置可计算性的方法有多种，其中最通用的一种是可实现性理论。可实现性理论的思想可以追溯到克莱恩（Kleene）1945 年发表的《关于直觉数论的解释》一书，但此后已被推广并发展为可计算性的一个小分支，与类别理论很好地结合在一起，例如，参见Jaap van Oosten的书“可实现性：对其分类方面的介绍”（逻辑研究和数学基础，第152卷，爱思唯尔，2008年）。

让我非常简单地描述可实现性的想法，然后再讨论您的“无坐标”要求。从诸如图灵机， $\lambda$ 演算，编程语言或任何其他部分组合代数的计算模型开始（您甚至可以将某些拓扑空间称为“计算模型”，这是通用的）。为了具体起见，让我们考虑图灵机。我们通过代码自然数图灵机，但是请注意，我可以采取计算的一些其他型号的，所以你应该不是假设使用的 $\mathbb{N}$ 以任何方式至关重要这里。（其他可能性包括：自然数的幂集，自然数的无穷序列，未类型化的语法 $\lambda$ 微积分，某些类别的游戏等）

$X$ $\Vdash_X$ $\mathbb{N}$ $X$ $x \in X$ $n \in \mathbb{N}$ $n \Vdash_X x$ $n$ $x \in X$

给定两个程序集和，如果存在图灵机，则映射是可实现的（或“可计算的”），使得每当然后终止并且。同样，这是对非正式地“编程”抽象函数非正式含义的直接音译：无论对相应元素所做的操作，相应的Turing机器都可以表示数据。 $(X, {\Vdash_X})$ $(Y, {\Vdash_Y})$ $f : X \to Y$ $T$ $n \Vdash_X x$ $T(n)$ $T(n) \Vdash_Y f(x)$ $f$ $f$

组件可以扩展到可实现性。主题是高阶直觉数学的模型。这告诉我们，每个可实现性主题（每种计算模型都有一个）都包含许多有趣的对象。例如，它包含一个实数对象，从而为我们提供了实数的可计算性。但是它还包含许多其他对象，例如希尔伯特空间，Banach空间，光滑映射的空间等。您要求其他一些可计算的结构，但是却得到了更好的东西：整个可计算性数学世界。

由于类别理论和目的可能会令人恐惧，并且需要可计算性理论，类别理论和逻辑方面的一定技术水平，因此我们也可以只在一个具体的主题中进行工作，但是我们以具体的非抽象方式表示一切。Kleene的函数可实现性带来了一个特别好的计算世界，并以可计算分析的名义命名。

让我评论一下“无坐标”的要求：

在计算模型之间切换会产生不同种类的可计算世界。这有点像在提供不同种类线性代数的不同场之间切换。
集合可能配备了许多可计算结构，就像一组向量具有许多基数一样。但是，尽管所有基数都是等效的，但并非上的所有可计算性结构都可以等效。 $X$ $\Vdash_X$ $X$
如果我们具体使用可计算性结构，则有点像使用线性代数中的矩阵。它可能非常有用，但不是抽象的。 $(X, {\Vdash_X})$
为了以“无坐标”的方式工作，我们以可实现性来工作，以发挥和利用类别理论的力量（是的，这是陈词滥调，但确实有效）。
我们甚至可以以“不受世界限制”的方式进行工作：以直觉逻辑开发数学，然后以可实现的方式解释结果。

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
source

我认为这里的

选择与

的选择没有像我们可以考虑矢量空间的字段那样。在我看来，“可实现性关系”这个概念似乎更像是通过在

上定义Borel度量来定义可度量的含义，然后声明“可度量的空间是任何与

射成一体的事物，而可度量的函数是可引出可度量映射的任何事物。

。

N

$\mathbb{N}$

R

$\mathbb{R}$

R

$\mathbb{R}$

R

$\mathbb{R}$

R \to R

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

— 汤姆·埃利斯

可测空间是自然地从（某些）拓扑空间中产生的，通常认为一个定理是，非离散空间与

是同构的。我理想地希望找到的是前一种构造的计算理论类似物。产生可计算内容的基础结构是什么？由法令强加的与

的对应关系并不是特别令人满意。

R

$\mathbb{R}$

N

$\mathbb{N}$

— 汤姆·埃利斯

没有“

选择”，只有计算模型的选择。如果用“选择

”来表示“让我们使用图灵机（用数字编码）”，那么我的意思是：对于可计算性结构

每种选择，您都可以实现

。对于现场的每个选择：这是类似于

你得到的类别

向量空间超过

。

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

S

$\mathbb{S}$

R T (S)

$\mathrm{RT}(\mathbb{S})$

F

$F$

{V e c t}_{F}

$\mathrm{Vect}_F$

F

$F$

— 安德烈·鲍尔

在集合上施加度量确实有点像在集合上施加可计算性结构。在这两种情况下，某些集合都具有与之关联的自然结构。

— Andrej Bauer

2

亲爱的安德烈（Andrej），我感谢您的深思熟虑。我很高兴在这个领域有20年经验的资深人士会花时间来启发像我这样的新手，而不是像毫无意义地投票赞成结束我的问题。我也很高兴地推断出，论点理论和nLab上的页面现在被认为可供研究前水平的人们访问。

— 汤姆·埃利斯

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下面的两篇论文提出了任意集的可计算性概念。有趣的是，甚至可以为这种计算模型定义一个复杂性理论的概念。

Cobham递归集合函数和弱集合理论Arnold Beckmann，Sam Buss，Sy-David Friedman，MoritzMüller，Neil Thapen。

Cobham递归集合函数的子集有界递归和电路模型Arnold Beckmann，Sam Buss，Sy-David Friedman，MoritzMüller和Neil Thapen。

— Mateus de Oliveira Oliveira
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存在一个关于实数的复杂性和计算的概念。我将指导您的教科书是：https : //www.amazon.com/Complexity-Real-Computation-Lenore-Blum/dp/0387982817

我知道有一个专门研究此问题的实验室：https：//complexity.kaist.ac.kr/

— MRC
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那不是特别现实，因为它暗示“停止”预言是可计算的。

— 安德烈·鲍尔

-1

这类似于我们根据图灵机定义可计算性，然后立即忘记图灵机的方式。由于事实证明，图灵机的定义非常出色，因此我们将其用作整个等价模型类别的锚点，无论从哪个元素生成它，我们最终都属于同一类。基本上这是Church-Turing论文，它定义了可计算位串的集合。

类似地，要在不同集合上定义可计算性，我们将其与特定的部分函数（从位字符串到锚定。实际上，此函数是双射，注入还是任何其他类型的函数都没有关系（对于我们真的不希望将其作为注入的情况，请考虑由其表示定义的组，而我们没有其元素的唯一表示形式）。如果我们允许单例集不可计算，则甚至不必是一个推测。通过将此函数与从位字符串到位字符串的任何可计算双射组成（已定义一个概念），我们得到了的可计算性定义 $S$ $S$ $S$ 就我们最初选择的功能而言，这是不变的（只要我们选择了合理的东西）。也就是说，我们的集合的CT论文。但是，如果我们不选择合理的函数，则会得到可计算性的不同定义。 $S$

此函数还用于定义域或范围等于的其他函数的可计算性。通过改变范围，保持域，我们也得到了的柯尔莫哥洛夫的复杂性-invariant定义。最后我们可以说我们选择的函数本身就是可计算的。 $S$ $S$ $\{0,1\}^*$ $O(1)$ $S$

因此，我认为您的问题的答案是否定的。我们必须为每个要讨论的集合定义可计算性，因为存在非等效定义。除了一个非常技术性或教学性的讨论之外，它没有必要，因为一个理性的人可以独立地想象一个合理的定义。

$S$ $S$ $S$ $\{0,1\}^*$

$r \in \mathbb{N}$ $r$ $g \in \mathbb{N}$ $g$ $23$ $23$ $\mathbb{N}^2$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}^2$ $\mathbb{N}$

因此，为了避免整个讨论，不仅应该理解在所讨论的集合上存在可计算性的合理定义，而且还应该存在一类合理的定义。

$F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

— 丹·布鲁姆利夫
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