是什么使一种语言（及其类型系统）能够证明有关其自身术语的定理？

我最近尝试实现Aaron的Cedille-Core，这是一种极简主义的编程语言，能够证明有关其术语的数学定理。我还证明了其上的λ编码数据类型的归纳法，这使他的扩展为什么必要的原因更加清楚。

几乎没有，我仍然想知道这些扩展来自何处。为什么他们是他们自己？什么使他们合理？我知道，例如，某些扩展（例如递归）破坏了该语言作为证明系统的地位。如果我决定也将CoC与其他原语一起扩展，我将如何辩解？我知道有必要进行标准化的证明，但这并不能证明这些原语“有意义”。

简而言之，什么使语言（及其类型系统）成为能够证明自己的术语定理的系统呢？

type-theory functional-programming constructive-mathematics

— 玛雅·维克多
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我读了有关这个问题的一个博客，但我现在无法找到它:(它包含了句“系统T是足够了！”或者类似的东西，它谈到依赖型系统。

— Labbekak

找到了它：queuea9.wordpress.com/2010/01/17/…它实际上是由亚伦·史坦普（Aaron Stump）编写的，因此您可能已经知道了。

— Labbekak

无保护的递归“破坏”了语言作为证明系统，无保护的递归没有。为了证明原语有意义，我想说您建立了一个模型。为了证明有关其术语的定理，它需要一种Curry-Howard同构和相关类型，以便您证明的事物（类型）可以谈论您的术语。

— xavierm02 '18

[随后进行自我广告，但是我认为这是相关的。]

$t$ $u$ $t \equiv u$ $t$ $u$ $\forall v, (\lambda x.x)\;v \equiv v$

当然，您也可以假定等价，并且有几种不同形式的量词（类型化/非类型化，通用/存在）。该机制可用于推理任何程序（不必证明它们已终止或什至是键入）。唯一的限制是用作证明的程序必须被系统终止证明（任意的通用递归导致不一致）。

如果您想检查一下，这里有一些参考：

— 罗道夫·勒皮格雷
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