具有不合理权重的最大流算法的反例？

众所周知，如果某些权重不合理，则具有胖管试探法（两种用于最大流量的算法）的福特-福克森或埃德蒙兹-卡尔普不需要停止。实际上，它们甚至可以收敛于错误的价值！但是，我可以在文献中找到的所有示例[以下参考文献以及其中的参考文献]仅使用一个非理性值：共轭黄金比率$\phi' = (\sqrt{5}-1)/2$，以及其他为有理值或为的有理倍数的值 $\phi'$。我的主要问题是：

一般问题：其他非理性价值观会怎样？

例如（（但不必觉得您必须回答所有这些问题-我会发现对任何一个问题或上述一般问题下的其他问题的回答都很有趣）：

1. 给予任何 $\alpha \in \mathbb{R}$，能否构造（甚至表明存在）这样的反例？

2. 更弱：是否有实例已知的是，使用一种非理性的值本质上的不同，从$\phi'$？也就是说，有一些$\alpha$ 这不是...的有理倍数 $\phi'$ （或更强烈地说，不在 $\mathbb{Q}(\phi')$），因此有一些福特（Ford-Fulkerson）和/或埃德蒙兹·卡普（Edmonds-Karp）的反例， $\mathbb{Q}(\alpha)$？

3. 另一方面，是否存在非理性 $\alpha$使得福特富尔克森（分别，埃德蒙斯-卡普）与正确的值暂停所有的图，其权重是从所有$\mathbb{Q} \cup \{q\alpha : q \in \mathbb{Q}\}$？（或更强烈地说，来自$\mathbb{Q}(\alpha)$？）

在所有情况下，我都想假设像真实RAM模型那样，以便在恒定时间内完成实数的精确算术和精确比较。

（已知还有其他一些最大流量算法可以在强多项式时间内运行，甚至具有任意实数，这也许就是为什么这种类型的问题可能没有得到进一步探讨的原因。 ，我对此仍然感到好奇。）

参考文献

• Zwick TCS 1999给出了Ford-Fulkerson的最小反例

• Queyranne或Queyranne Math给出了Edmonds-Karp的反例。歌剧 Res。1980年，尽管我不知道那是最小的。

• 这些都可以在Jeff Erickson的讲义中找到，第一个在23.5节中，第二个在第23课的练习14中。

答案是对于每个不合理的数字 $r$，存在一个网络

• 与 $n=6$ 顶点和 $m=8$ 弧线
• 其中七个弧具有整数容量，
• 其中一个弧具有容量 $r$，
• 并且福特福克森可能无法终止。

本文已经证明了这一点

高桥俊彦：
“福特-富克森最大流量程序可能无法终止的最简单和最小的网络”
，《信息处理学报》24，第390-394页，2016年。
链接：https：//www.jstage.jst.go。 jp / article / ipsjjip / 24/2 / 24_390 / _article

谢谢您提出的问题，我发现这不是很自然，但仍然很有趣。

我研究了Ford-Ferkulson部分，我想我发现了一个图，它是一个反例，并且只有一个具有非理性容量α的边（该图可以适用于任何α）。

这是一份PDF，总结了我的尝试：https : //louis.jachiet.com/tmp/jQwbrkSMLNU_draft.pdf（对不起，此刻暂时有些陈词滥调，但请随时提出问题）

显然，Ford-Felkurson让我们可以根据需要选择扩展路径...我不确定Edmond-Karp能否做到这一点。