多对数独立性的愚弄导致收紧指数方面取得了任何进展

Braverman证明了 $(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}$明智的独立 $\epsilon$-傻瓜深度 $d$ $AC^0$ 电路尺寸 $m$ 通过“粘合”在一起的Smolensky逼近和Fourier逼近 $AC^0$可计算的布尔函数。作者和对此进行猜想的人最初猜想那里的指数可以简化为$O(d)$，我很好奇是否已经取得了进展，因为我想它会涉及产生一个相关距离很近的多项式，并且实际上与大量输入上的函数一致，所以我认为这会是一个非常有趣的近似值，无需将这两者粘合在一起。是否有某些理由期望这种近似值必须具有度$O(d^2)$ 当Braverman在2010年撰写论文时还不知道吗？

关于我的这篇论文的另一个问题是，尽管猜想是在Bobobana在敏感度之前写的，但它与Boppana的敏感度相似。当然，这不是巧合，因为如果傅里叶多项式起作用，则该界线对应于您可以从Boppana界中得出的傅里叶集中度，但是您知道的直觉比“如果傅里叶多项式起作用” ，这就是您所得到的”吗？

Avishay Tal 在他的CCC'17论文 [1]中改进了

$$\left(\log\frac{m}{\varepsilon}\right)^{O(d)}\,. \tag{1}$$ 您可能需要检查第15：4页进行讨论。它还参考（请参见Harsha和Srinivasan的论文的脚注30，该论文对（1）进行了改进）并回答了Tal的猜想：$k$明智的，对于 $$k = \left(\log m \right)^{O(d)}\cdot\log\frac{1}{\varepsilon}\,. \tag{2}$$ 足以 $\varepsilon$-傻瓜大小-$m$ 深度-$d$ AC0电路。

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[1] 的傅立叶谱上的紧界$\mathsf{AC}_0$，A。Tal。CCC'17。

[2] 关于的多项式逼近$\mathsf{AC}_0$，P。Harsha和S. Srinivasan。随机2016