Lambda微积分中复杂性理论的等价表述？

在复杂性理论中，时间和空间复杂性的定义均参考通用图灵机：resp。停止前的步骤数以及触摸到的磁带上的单元数。

给定Church-Turing论文，也应该有可能用lambda演算来定义复杂性。

我的直觉概念是，时间复杂度可以表示为β约简的数目（我们可以使用De Brujin索引定义α转换，反正η几乎不是约简），而空间复杂度可以定义为β约简的数目。符号（λ，DB索引，“应用”符号）减少幅度最大。

它是否正确？如果是这样，我在哪里可以得到参考？如果没有，我怎么会误会？

正如您指出的那样，λ演算具有看似简单的时间复杂性概念：只需计算β还原步骤的数量即可。不幸的是，事情并不简单。我们应该问：

 Is counting β-reduction steps a good complexity measure?

为了回答这个问题，我们首先要弄清复杂性度量的含义。Slot和van Emde Boas的理论给出了一个很好的答案：任何好的复杂性度量都应该与使用Turing机定义的时间复杂性的规范概念具有多项式关系。换句话说，应该有一个从λ微积分项到图灵机的合理编码tr（。），这样对于大小为每个项：当减小为的值时，减小为的值。$M$$|M|$$M$$poly(|M|)$$tr(M)$$poly(|tr(M)|)$

长期以来，尚不清楚是否可以在λ微积分中实现。主要问题如下。

• 有些项会以多项式步长的形式生成指数形式的范式。参见（1）。即使写下标准格式也要花费指数时间。

• 所选的减排策略也起着重要作用。例如，存在一系列项，这些项减少了并行β步的多项式数量（就最佳λ约简（2）而言，但其复杂度是非基本的（3，4）。

论文（1）通过显示合理的编码来澄清这个问题，该编码假设最左最外层的Call-By-Name减少了保留复杂性类PTIME。关键的见解似乎是，指数爆炸只会由于无趣的原因而发生，而这些原因可以通过适当共享子项来克服。

请注意，类似（1）的论文表明，无论您计算β步长还是图灵机步长，诸如PTIME的粗略复杂度类都是一致的。这并不意味着较低复杂度的类（如O（log n））也会重合。当然，在图灵机模型的变化下（例如1磁带与多磁带），此类复杂性类别也不稳定。

D. Mazza的工作（5）证明了库克-莱文定理（SAT的𝖭𝖯完全性）是使用函数语言（λ微积分的一种变型）而不是图灵机。关键见解是：

$$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$

我不知道有关空间复杂性的情况。

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1. B. Accattoli，U。Dal Lago，Beta减少是不变的，的确如此。

2. J.-J. 征税，减少纠正和优化dans le lambda-calcul。

3. JL Lawall，HG Mairson，最优性和低效率：λ演算的成本模型不是什么？

4. 答：Asperti，H。Mairson， 并行beta减少不是基本递归。

5. D. Mazza，教会遇见库克和莱文。

计算约简是演算的一种复杂性度量，但是一种更为灵活和合理的方法是成本语义，其中操作语义会因各种成本概念而增加。一个很好的起点是 Jan Hoffmann 撰写的OPLSS 2018关于成本语义的讲座（视频和讲座材料可在链接上获得）。$\beta$$\lambda$

关于空间复杂性的说明。正如马丁在他的回答中指出的那样，计算时间复杂度的天真的方法效果很好，但是您所建议的空间复杂度的定义很容易被认为是不充分的。的确，在空间的情况下，您确实希望能够讲到亚线性复杂度，例如，您希望能够恢复类（确定性对数空间，即对时间间隔进行确定） ，并且您的定义显然不允许您这样做：在任何缩减，您至少要计算的大小，该大小在输入大小中是线性的。$\mathsf L$$\mathsf P$$M\to^\ast N$M$M$

这个故事的寓意是重写不适合计算空间。UlrichSchöpp和Ugo Dal Lago率先倡导使用所谓的相互作用几何（GoI）处理亚线性空间复杂性（请参阅ESOP 2010论文“亚线性空间中的功能编程”）。据我所知，GoI在所有基于lambda微积分的亚线性空间类的表征中都以一种或另一种方式使用。我不想了解这里的GoI。让我们说这是一种执行lambda项而不减少它的方法（即，不触发 -redexes），而是通过“遍历”带有特定辅助信息的语法树来执行的。$\beta$