是{www | ……}是否与上下文无关？

众所周知，的补语是与上下文无关的。但是的补码呢？$\{ ww \mid w\in \Sigma^*\}$$\{ www \mid w\in \Sigma^*\}$

我相信仍然是CFL，并采用了经典证明。这是草图。

考虑$L = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y \lor y \neq z)\}$，这是补体$\{www\}$，具有长度的话不$0$ MOD$3$除去。

令$L' = \{uv : |u| \equiv_3 |v| \equiv_3 0 \land u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3}\}$。显然，$L'$是CFL，因为您可以猜测位置$p$并认为$u$在此之后以$p/2$结尾。我们证明$L = L'$。

• $L \subseteq L'$：让$w = xyz \in L$。假设有一个$p$使得$x_p \neq y_p$。然后写$u$为$3p/2$的第一字符$w$，和$v$为其余部分。自然，$u_{2|u|/3} = x_p$。现在是$v_{|v|/3}$？第一：

因此，在$w$，这是位置：

如果$y_p \neq z_p$，则让$u$为前${3\over2}(|w|/3 + p)$的字符$w$，使得$u_{2|u|/3}$是$y_p$; $v$是$w$的其余部分。然后：

• $L' \subseteq L$：我们扭转先前的过程。让$w = uv \in L'$。写$p = 2|u|/3$。然后： $$p+|w|/3 = 2|u|/3+|uv|/3 = |u| + |v|/3.$$ 因此，$w_p = u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3} = w_{p + |w|/3}$，和$w \in L$（因为如果$w$的形式为$xxx$，必须认为$w_p = w_{p+|w|/3}$对于所有$p$）。

这就是我考虑使用PDA解决此问题的方法。我认为，它在直观上更加清晰。

一个字$x$不是形式的$www$当且仅当或者（i）$|x| \not\equiv 0$（MOD 3），这是很容易检查，或（ii）有一些输入符号$a$从相应的符号不同$b$发生$|w|$职位以后。

我们使用通常的技巧，即通过使用一个新的“栈底”符号Z来存储整数值|来维护整数$t$。t | 作为堆栈上计数器的数量，sgn（t）由PDA的状态决定。因此，我们可以通过执行适当的操作来增加或减少t。$Z$$|t|$$t$$t$

目的是使用不确定性来猜测您正在比较的两个符号的位置，并使用堆栈来记录$t := |x|-3d$，其中$d$是这两个符号之间的距离。

我们按以下步骤完成此操作：为看到的每个符号递增$t$，直到选择了第一个猜出的符号$a$，然后在状态中记录$a$。对于每个随后的输入符号，直到你决定你看到$b$，减量$t$由$2$（$1$用于输入长度和$-3$为的距离）。猜测第二个符号$b$的位置，并记录$a \not= b$。继续增加$t$为后续输入符号。接受如果$t = 0$（顶部$Z$可以检测到）并且$a \not= b$。

这样做的好处是，应该完全清楚如何将其扩展到任意能力。

只是从一个不同的角度（“面向语法”）的角度证明了$\{ w^k \}$的补码对于使用闭包属性的任何固定$k$都是CF。

首先要注意在补$\{ w^k \}$总有$i$这样$w_i \neq w_{i+1}$。我们关注$w_1 \neq w_2$并从生成以下内容的简单CF语法开始：

$L = \{\underbrace{a00...0}_{w_1} \; \underbrace{b00...0}_{w_2} ... \underbrace{000...0}_{w_k} \mid |w_i|=n \} = \{ a 0^{n-1} \, b 0^{n(k-1)-1} \}$

例如，对于$k = 3$，我们有$L = \{ a\,b\,0, a0\,b0\,00, a00\,b00\,000, ...\}$，$G_L = \{ S \to ab0 | aX00, X \to 0X00 | 0b0 \}$

Then apply closure under inverse homomorphism, and union:

First homomorphism: $\varphi(1) \to a, \varphi(0) \to b, \varphi(1)\to 0, \varphi(0) \to 0$

Second homomorphism: $\varphi'(0) \to a, \varphi'(1) \to b, \varphi'(1)\to 0, \varphi'(0) \to 0$

$L' = \varphi^{-1}(L) \cup \varphi'^{-1}(L)$ is still context free

Apply closure under cyclic shifts to $L'$ to get the set of strings of length $kn$ not of the form $w^k$:

$L'' = Shift(L') = \{ u \mid u \neq w^k \land |u| = kn \}$.

Finally add the regular set of strings whose length is not divisible by $k$ in order to get exactly the complement of $\{w^k\}$:

$L'' \cup \{\{0,1\}^n\mid n \bmod k \neq 0\} = \{ u \mid u \neq w^k\}$