组同构问题最难的例子是什么？

如果存在从到的同构是双射的，则两个组和被称为同构。组同构问题如下：给定两个组，检查它们是否同构。有多种输入组的方式，其中最常用的两种是Cayley表和发电机组。在这里，我假设输入组由其Cayley表给出。更正式地：$(G,\cdot)$$(H, \times)$$G$$H$

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$（G ，⋅ ）（H ，× ）两组和。$(G,\cdot)$$(H,\times)$

$\textbf{Decide : }$ ģ ≅ ħ是吗？$G \cong H$

让我们假设$n = |G| = |H|$

通常，在中不存在由Cayley表指定输入组时的组同构问题。尽管存在类似问题的组类（例如阿贝尔群组），但这些组是阿贝尔群的扩展，简单组等。即使对于幂等类两个组，没有什么算法比蛮力更好了众所周知。$\textbf{P}$

Tarjan给出了用于组同构的蛮力算法，如下所示。令和为两个输入组，令为组的生成集。众所周知的事实是，每个有限组都允许生成大小的集合，并且可以在多项式时间内找到它。从到的同态的发电机组的图像数量是。现在，检查每个可能的同态是否都是双射的。整体运行时间为。$G$$H$$S$$G$$\mathcal{O}(\log n)$$S$$G$$H$$n^{\log n}$$n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$

让我首先定义组的中心：$G$

$Z(G)$表示与组所有其他元素交换的组元素。基团为其中（用于商/）是阿贝尔称为幂零类两组。在我看来，幂零类第二组是解决组同构问题的最困难的实例。“最困难的情况”的含义是：解决该问题将使从事小组理论工作的研究人员能够解决大量小组的同构问题。$G$$G$$G/Z(G)$

最初，我认为简单组是最困难的实例，因为它们是所有组的构建块，但是后来才知道，简单组的同构问题在。$\textbf{P}$

问题：组同构问题最困难的情况是什么？

$p$普遍认为2类的基和指数是组同构的最困难的情况（）。（对于，我们需要考虑指数4，因为所有指数2的组都是阿贝尔语的-便于读者练习。）尽管从一般GpIso到此类组还没有减少（尽管请参见下面的要点0.5） ），这种信念有几个原因。让我在这里概述其中的一些。$p$$p > 2$$p=2$

0）实践经验（请参阅Newman，Eick，O'Brien，Holt，Cannon，Wilson等人的论文，这些论文给出了在GAP和MAGMA中实现的算法）。

0.5）[编辑：增加8/7/19]减少。当通过在生成矩阵集来给出这样的组时，问题是 -complete [ G.-Qiao '19 ]。也（参见点（4）以下），同构 -基团指数和类在聚时间减少到的同构 -基团指数和类2（同上）。$p$$\mathbb{F}_p$$\mathsf{TI}$ p p c < p p p$p$$p$$c < p$$p$$p$

1）结构（减少到可解，然后减少到 -group）。每个有限组都包含一个唯一的最大可解正态子组，称为可解根基，表示为。包含阿贝尔正态子群，并且可以在实践中（Cannon-Holt J. Symb。Comput。2003）和理论上（Babai-Codenotti-Qiao ICALP 2012）有效地处理此类群的同构。即使对于是阿贝尔组，也可以在时间（G-Qiao CCC '14，SICOMP '17）中进行处理-因此，不是很多项式，但比更近$p$$Rad(G)$$G/Rad(G)$$Rad(G)$$n^{O(\log \log n)}$$n^{\log n}$。因此，主要障碍似乎是可解决的（正常亚组）人群。现在，在可解决的组中，有很多结构-从每个可解决的组都是其Sylow子组的编织物开始的事实开始，似乎最困难的情况是组。$p$$p$

2）计数。阶的组为，其中是任何质数的最大指数除以（Pyber 1993）。阶数的组的数目至少为（Higman 1960）。因此，您会看到指数中前导项的系数匹配。在这种意义上，“最多”的组是组（甚至是2类和指数）。有一个长期的推测，即可以增强前面弱点中的“多数”来表示有序组的比例$n$$\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$$\mu(n)$$n$$p$$n=p^m$$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$pp≤ÑpÑ→交通∞$p$$p$$\leq n$作为组的趋向于为1 。$p$$n \to \infty$

3）普遍性（野性）。给定的分类将意味着对特征的任何有限群（甚至是Artinian代数）的所有模块化表示进行分类（Sergeichuk 1977）。$p$$p$

4）灵活性。为什么是 2类而不是更高类的 -groups？（请注意，近乎最大类-基，所谓的“小组件类”，已经基本上被归类，Eick和Leedham绿2006年，也看到一些问题的答案在这里。）对于任何$p$$p$p p p$p$第一组可以关联一个分级的Lie环，其中Lie环中的括号对应于该组中的换向器。组中的关联性表示方括号的Jacobi身份，从而产生了一个真正的Lie环。但是，请注意，当组为类2时，将完全满足Jacobi身份（其所有条件自动为0），因此这对结构没有任何其他约束。它基本上只对应于任意倾斜对称双线性图。对于指数-基团，有即使减少从类 2类。$p$$p$$c < p$