一类特殊的语言：“循环”语言。知道吗

在有限字母Sigma上定义以下“循环”语言类。实际上，该名称已经存在，用来表示看起来似乎与DNA计算领域不同的事物。AFAICT，这是另一种语言。

语言L是所有的话圆形IFF在，我们有：Σ $w$$\Sigma^*$

k > 0 w $w$属于L如果且仅当对于所有整数，属于L.$k > 0$$w^k$

这类语言是否已知？我对常规的循环语言感兴趣，尤其是：

• 他们的名字，如果他们已经知道

• 在自动机（尤其是DFA）的情况下，问题的可判定性是否接受的语言是否符合上述定义

在第一部分中，我们展示了确定圆度的指数算法。在第二部分中，我们表明此问题是coNP难题。在第三部分中，我们显示每种循环语言都是形式为的语言的并集（此处r可以是空的正则表达式）；工会不一定是脱节的。在第四部分中，我们展示了一种循环语言，它不能被写成不相交的和∑ r + i。$r^+$$r$$\sum r_i^+$

编辑：结合马克的评论进行了一些更正。特别是，我早些时候声称圆度是coNP完全或NP硬的。

编辑：将范式从修正为∑ r + i。展示了一种“本来就模棱两可”的语言。$\sum r_i^*$$\sum r_i^+$

继续彼得·泰勒的评论，这是在给定其DFA的情况下，如何（极其低效地）决定一种语言是否为圆形的方法。构造一个状态为旧状态的元组的新DFA 。此新DFA 并行运行n个旧DFA副本。$n$$n$

如果语言不是循环语言，那么会有一个单词，如果我们从初始状态s 0开始反复通过DFA运行它，那么我们将得到状态s 1，… ，s n，使得s 1可以接受，但是一个另一个不接受（如果它们全部都接受，则序列s 0，… ，s n必须循环以便w ∗始终是该语言）。换句话说，我们有一条从s 0，… ，s n的路径$w$$s_0$$s_1,\ldots,s_n$$s_1$$s_0,\ldots,s_n$$w^*$到 s 1，…， s n其中 s 1接受，但另一个不接受。相反，如果该语言是圆形的，则不可能发生这种情况。$s_0,\ldots,s_{n-1}$$s_1,\ldots,s_n$$s_1$

因此，我们已将问题简化为简单的定向可达性测试（只需检查所有可能的“坏” 元组）。$n$

圆度的问题很难解决。假设我们给出了一个3SAT实例，其中包含变量→ x和m子句C 1，… ，C m。我们可以假设n = m（添加虚拟变量）并且n为质数（否则，使用AKS素数测试找到n和2 n之间的质数，并添加虚拟变量和子句）。$n$$\vec{x}$$m$$C_1,\ldots,C_m$$n = m$$n$$n$$2n$

考虑以下语言：“输入的格式不是，其中→ x i是C i的令人满意的赋值”。为此语言构造O （n 2） DFA 很容易。如果该语言不是圆形的，则该语言中会有一个单词w，但该语言中没有包含某些力量。由于仅有的非该语言单词的长度为n 2，因此w必须为长度1或n。如果是长度$\vec{x}_1 \cdots \vec{x}_n$$\vec{x}_i$$C_i$$O(n^2)$$w$$n^2$$w$$1$$n$，改为考虑 w n（它仍然是语言），以便 w使用语言，而 w n不使用语言。w n不在语言中这一事实意味着 w是令人满意的赋值。$1$$w^n$$w$$w^n$$w^n$$w$

相反，任何令人满意的分配都转化为证明该语言非圆度的单词：令人满意的分配属于该语言，但w n不属于该语言。因此，如果3SAT实例不令人满意，则该语言是循环的。$w$$w^n$

在这一部分中，我们讨论循环语言的常规形式。考虑到一些DFA的圆形语言。序列Ç = Ç 0，...是实如果C ^ 0 = 小号（初始状态），所有其它状态被接受，和Ç 我 = Ç Ĵ意味着Ç 我+ 1 = c ^ Ĵ + 1。因此，每个实序列最终都是周期性的，并且只有有限的多个实序列（因为DFA具有有限的多个状态）。$L$$C = C_0,\ldots$$C_0 = s$$C_i = C_j$$C_{i+1} = C_{j+1}$

我们说一个字根据的行为$C$如果单词从国家采取的DFA 州ç 我+ 1，所有我。所有此类单词E （C ）的集合都是规则的（自变量与此答案的第一部分相似）。注意，E （C ）是L的子集。$c_i$$c_{i+1}$$i$$E(C)$$E(C)$$L$

给定实数序列，将C k定义为序列C k（t ）= C （k t ）。序列C k也是实数。由于仅有限地存在许多不同的序列C k，所以作为所有E （C k）的并集的语言D （C ）也很规则。$C$$C^k$$C^k(t) = C(kt)$$C^k$$C^k$$D(C)$$E(C^k)$

我们声称具有这样的特性，如果X ，ÿ ∈ d （C ^ ）然后X Ý ∈ d （Ç ）。实际上，假设X ∈ Ç ķ和ÿ ∈ Ç 升。然后X ÿ ∈ Ç ķ + 升。因此D （C ）= D （C ）+可以写成$D(C)$$x,y \in D(C)$$xy \in D(C)$$x \in C^k$$y \in C^l$$xy \in C^{k+l}$$D(C) = D(C)^+$用于某些正则表达式 r。$r^+$$r$

每一个字在语言对应于一些真正的序列Ç，即存在一个真正的序列ç是W¯¯的行为根据。因此，L是所有实序列C上D （C ）的并集。因此，每种循环语言都具有∑ r + i形式的表示形式。相反，每种这种语言都是循环的（琐碎的）。$w$$C$$C$$w$$L$$D(C)$$C$$\sum r_i^+$

考虑a ，b上所有包含偶数或a或b的偶数（或两者）的单词的循环语言我们证明它不能写成不相交的和∑ r + i；用“脱节”我们的意思是- [R + 我 ∩ [R + Ĵ = ∅。$L$$a,b$$a$$b$$\sum r_i^+$$r_i^+ \cap r_j^+ = \varnothing$

令是r + i的一些DFA的大小，而N > max N i是一些奇数。考虑x = a N b N ！。由于X ∈ 大号，X ∈ [R + 我一些我。通过抽引理，我们可以泵的前缀X最多的长度ñ。因此r + i生成z = a N $N_i$$r_i^+$$N > \max N_i$$x = a^N b^{N!}$$x \in L$$x \in r_i^+$$i$$x$$N$$r_i^+$。同样， y = a N ！b N由一些 r + j生成，而 r + j也生成 z。请注意，我≠ Ĵ因为 X Ÿ ∉ 大号。因此，表示不能不相交。$z = a^{N!} b^{N!}$$y = a^{N!} b^N$$r_j^+$$z$$i \neq j$$xy \notin L$

以下是一些讨论这些语言的论文：

Thierry Cachat，一字母理性语言的力量，DLT 2001，Springer LNCS＃2295（2002），145-154。

S.Hovath，P.Leupold和G.Lischke，《常规语言的根源与力量》，DLT 2002，Springer LNCS＃2450（2003），220-230。

H. Bordihn，上下文无关语言的功能的上下文无关性尚不确定，TCS 314（2004），445-449。

@Dave Clarke，L = a * | b *将是圆形的，但是L *将是（a | b）*。

在判定性方面，一种语言是圆形的，如果有一个大号'，使得大号是下的+闭合大号'，或者如果它是圆形的语言的一个有限联合。$L$$L'$$L$$L'$

（我很想用≥重新定义“ circular”来代替您的。这样可以简化很多事情。然后，我们可以将循环语言的特征描述为存在NDFA，其NDFA的起始状态仅是ε-跃迁到接受状态，并且具有到每个接受状态的epsilon转换）。$>$$\ge$

编辑：完整的（简化的）PSPACE完整性证明如下所示。

两次更新。首先，我的其他答案中描述的范式已经出现在Calbrix和Nivat的论文中，标题为有理 langauges的前缀和周期语言$\omega$，但不幸的是无法在线获得。

第二，在DFA为PSPACE完整的情况下，确定一种语言是否为圆形。

PSPACE中的圆度。由于根据Savitch定理的NPSPACE = PSPACE，足以给出用于非圆形度的NPSPACE算法。令为DFA | 问| = n个状态。L （A ）的句法半群词的大小最多为n n的事实意味着如果L （A ）不是圆形的话，则单词w的长度最多为n $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$$|Q|=n$$L(A)$$n^n$$L(A)$$w$$n^n$使得但瓦特ķ ∉ 大号（甲）对于一些ķ ≤ Ñ。该算法猜测瓦特并计算δ 瓦特（q ）= δ （q ，瓦特）为所有q ∈ Q，使用ø （Ñ 登录Ñ ）空间（用于计数到Ñ Ñ）。然后，它会验证δ w ^$w \in L(A)$$w^k \notin L(A)$$k \leq n$$w$$\delta_w(q) = \delta(q,w)$$q \in Q$$O(n\log n)$$n^n$但 δ （ķ ）瓦特 ∉ ˚F一些 ķ ≤ Ñ。$\delta_w(q_0) \in F$$\delta_w^{(k)} \notin F$$k \leq n$

圆度是PSPACE很难的。Kozen在1977年的经典论文《自然证明系统的下界》中指出，给定DFA列表，很难确定PSPACE很难接受它们所接受的语言的交集。我们将此问题简化为循环性。给定二进制DFA ，我们找到素数p∈ [ n ，2 n ]并构造一个接受语言 L （A ）= ¯ { 2 w 1 2 w 2的三元DFA $A_1,\ldots,A_n$$p \in [n,2n]$$A$ （有一些更多的努力，我们可以做出一个二进制为好。）这是不难看出（使用的事实，p为素数），即大号（一）是圆形的，当且仅当路口大号（一1）∩⋯∩大号（甲ñ）是空的。

每长度的p > 0可以写为X ý 我 ž其中X = Ž = ε，ÿ = 瓦特≠ ε。很明显，| x y | ≤ p和| y | = | w | > 0。因此，由于抽运引理，该语言对于非空输入是常规的。$s \in L$$p>0$$xy^{i}z$$x = z = \epsilon$$y = w \neq \epsilon$$|xy| \leq p$$|y| = |w| > 0$

对于，该定义成立，因为接受空字符串的NDFA也将接受任意数量的空字符串。$w= \epsilon$

以上语言的并集是语言L，并且由于常规语言在并集下是封闭的，因此，每种循环语言都是规则的。

根据赖斯定理，是不确定的。证明类似于规律性。$CIRCULARITY/TM$