协议分区号和确定性的通信复杂性

除了关系R的（确定性）通信复杂度 $cc(R)$，所需通信量的另一基本量度是协议分区号p p （R ）。这两个量度之间的关系是已知的，直到一个恒定因子为止。Kushilevitz和Nisan（1997）的专着给出了$R$ $pp(R)$

关于第二不等式，很容易得到（无限家族）关系与日志2（p p （[R ）） = C ^ C ^ （- [R ）。$R$$\log_2(pp(R)) = cc(R)$

关于第一个不等式，Doerr（1999）表明我们可以用c = 2.223代替第一个界限中的因子。如果有的话，第一个界限可以提高多少？ $c=3$$c=2.223$

描述复杂性的另一个：改进常数2.223将导致正则表达式的最小大小的下限得到改善，该下限等于给定DFA描述某种有限语言的正则表达式的最小大小，请参阅Gruber和Johannsen（2008）。 $2.223$

虽然不直接相关的这个问题，Kushilevitz，Linial和斯基（1999），获得了关系与Ç Ç （[R ）/（2 - Ö （1 ））≥ 日志2（[R p （[R ）），其中[R p （ř ）是矩形分区号。$R$$cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))$$rp(R)$

编辑：请注意，上述问题与布尔电路复杂度中的以下问题等效：最佳常数是什么，以便每个叶子大小L的布尔DeMorgan公式最多可以转换为等效的深度公式c log 2 L？$c$$c \log_2L$

参考文献：

• Eyal的Kushilevitz；Nisan，Noam：沟通复杂性。剑桥大学出版社，1997年。
• Eyal的Kushilevitz；内森（Nethan）Linial；Ostrovsky，Rafail：通信复杂性中的线性阵列猜想是错误的，Combinatorica 19（2）：241-254，1999。
• Doerr，Benjamin：通信复杂性和协议分区号，技术报告99-28，Berichtsreihe des Mathematischen研讨会，基尔大学，1999年。
• 格鲁伯，赫尔曼；Johannsen，Jan：利用沟通复杂性对正则表达式大小的最佳下界。在：软件科学与计算结构基础2008（FoSSaCS 2008），LNCS 4962，273-286中。施普林格。

好了，让我尝试证明，二是足够的，那就是。 抱歉，但是有时候我写的是叶子而不是叶子的数量/ pp（R），每当数量小于1时，我显然就是这个意思。另外，我通常用<代替 ≤来增强非tex的可读性。$cc(R)\le 2\log_2(pp(R))$$\le$

间接地假设存在一个R，对于它来说这不是真的，让我们以最小的pp（R）来计算R，这违反了不等式。我们基本上必须证明，使用两位可以将协议树的所有四个结果中的叶子数量减半，然后使用归纳法完成。

用X表示Alice的输入，用Y表示Bob的可能的输入。取达到pp（R）叶子的协议树的中心，即删除该树的节点分为三个部分，每个部分最多为1/2 pp（R）叶的，用X0和Y0表示相应的输入。在不失一般性的前提下，我们可以假设爱丽丝在中心讲话，并且说出她的输入是属于XL还是XR，其不相交的并集是X0。用L 表示叶子与pp（R）的比率，用L表示XL Y0，用R表示XR × Y0 的叶子，用D表示其余部分。 Y0 × X与A相交，其矩形X0 × Y与B 相交，其余矩形与C相交。请注意，A + B + C = D。$\times$$\times$$\times$$\times$

现在我们知道L + R> 1/2，L，R <1/2，并且不失一般性，我们可以假设L最多是R。我们还知道D = A + B + C <1/2。由此得出2L + A + B <1，从中我们知道L + A <1/2或L + B <1/2，这是我们的两种情况。

情况L + A <1/2：首先，鲍勃告诉他的输入是否属于Y0。如果没有，我们最多还剩下D <1/2个叶子。如果是，则Alice告诉她的输入是否属于XR。如果没有，我们最多剩下L + A <1/2片叶子。如果是这样，那么我们剩下R <1/2的叶子。

情况L + B <1/2：第一爱丽丝告诉她的输入是否属于XR。如果是，那么Bob会告诉他是否属于Y0，这取决于我们是否剩余R或B叶子。如果Alice的输入不在XR中，则Alice告知她的输入是否在XL中。如果是，那么我们剩下L + B <1/2片叶子。如果没有，我们最多剩下D <1/2的叶子。

在所有情况下，我们都完成了。让我知道你的想法。

$c\le 2$$c \le 1.73$

参考文献

Stasys Jukna。布尔函数复杂度：先进性和前沿性。施普林格，2012年。

赫拉普琴科（VM Khrapchenko）。关于复杂性和深度之间的关系。Metody Diskretnogo Analiza，《控制系统综合》，第32期：76-94年，1978年。