相干空间什么时候会有回撤和推出？

$\newcommand{\symp}{\Bumpeq}$

集合上的相干关系是自反对称关系。相干空间是一对，并且在相干空间之间的态射是，使得对于所有和， $\symp_X$ $X$ $(X, \symp_X)$ $f : X \to Y$ $f \subseteq X \times Y$ $(x,y) \in f$ $(x',y') \in f$

如果 $x \symp_X x'$ 则 $y \symp_Y y'$ ，并且
如果 $x \symp_X x'$ 并且 $y = y'$ 则 $x = x'$ 。

相干空间的类别既是笛卡尔封闭的，又是单面封闭的。我想知道该类别何时存在回调或推出，以及何时存在回调或推出的一些单调模拟（以及在如何定义此概念的情况下如何定义）。

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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这个定义来自哪里？吉拉德（Girard），拉芳（Lafont）和泰勒（Taylor）的人看起来截然不同。

— 查尔斯·斯图尔特

这两个定义是等效的。我只是将网络作为原始语言，可以从中得出集团。

— Neel Krishnaswami

我发现Neel对定义的选择比原始定义更容易理解。

— 戴夫·克拉克

我将提出一个显而易见的问题：您知道它们并不总是存在吗？换句话说，您是否熟悉没有限制/共限制的函子到相干关系的任何示例？

— Ohad Kammar，2011年

这两个定义是等效的 -正确，但是您是否定义了这个定义，还是从别人那里得到的？顺便说一句，很好的问题，令我惊讶的是，似乎没人知道均衡器是否一直存在。

— 查尔斯·斯图尔特

~~我现在看到如何为相干空间定义均衡器，这意味着回撤总是存在的（因为乘积确实存在）。~~实际上，我不知道该怎么做。

回想一下组成是通常的关系组成，因此如果和，则： $f : A \to B$ $g : B \to C$

$f ; g = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists b \in B.\; (a,b) \in f \land (b,c) \in g\}$

（在这个定义中，存在物实际上意味着唯一的存在。假设我们有使得和。由于我们知道，这意味着。然后这意味着我们有和和，因此。） $b' \in B$ $(a,b') \in f$ $(b', c) \in g$ $a \Bumpeq_A a$ $b \Bumpeq_B b'$ $b \Bumpeq_B b'$ $(b,c) \in g$ $(b',c) \in g$ $b = b'$

现在我们构造均衡器。假设我们有连贯性的空间和，和态射。现在，如下定义均衡器。 $A$ $B$ $f, g : A \to B$ $(E, e : E \to A)$

对于网络，取这挑选出的令牌的子集其上或者和同意（高达相干-我有这种错误在我的第一版本），或者都未定义。
$E = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a \in A \forall b . (a, b) \in f ⟹ \exists a' ≎ A a . (a', b) \in g \land \forall b . (a, b) \in g ⟹ \exists a' ≎ A a . (a', b) \in f ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪$ $E = \left\{ \begin{array}{l|c} & \forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g \\ a \in A & \land \\ & \forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f \\ \end{array} \right\}$ $A$ $f$ $g$
定义。这仅仅是对子集上的相干关系的限制。因为是，所以这将是自反和对称的。 $\Bumpeq_E = \{ (a,a') \in \Bumpeq_A \;|\; a \in E \land a' \in E\}$ $A$ $E$ $\Bumpeq_A$
均衡器映射图只是对角线。 $e$ $e : E \to A = \{(a, a)\;|\;a \in E\}$

由于我弄乱了第一个版本的证明，因此我将明确给出通用性。假设我们还有其他任何对象并且态射使得。 $X$ $m : X \to A$ $m;f = m;g$

现在将定义为。显然，但是为了显示相等性，我们需要显示逆。 $h : X \to E$ $\{(x,a) \;|\; a \in E\}$ $h;i \subseteq m$ $m \subseteq h;i$

因此，假设。现在，我们需要显示和。 $(x,a) \in m$ $\forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g$ $\forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f$

首先，假设和。因此我们知道和，所以。因此，因此有一个使得和。由于，我们知道，因此有使得。 $b \in B$ $(a,b) \in f$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in f$ $(x,b) \in m;f$ $(x,b) \in m;g$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in g$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in g$

对称地假设和。因此我们知道和，因此。因此，因此有一个使得和。由于，我们知道，因此有一个使得。 $b \in B$ $(a,b) \in g$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in g$ $(x,b) \in m;g$ $(x,b) \in m;f$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in f$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in f$

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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我看不出你如何能证明普遍。只有一种方法可以分解任何，这是通过将为。显然，但我不明白为什么反过来认为：采取一些，有的，与。然后我们有，因此从的选择来看，我们有。根据成分的定义，存在一些如和。我们可以推断出

e $e$

m:X→A $m : X \rightarrow A$

h:X→E $h : X \rightarrow E$

h:={(x,a):(x,a)∈m,a∈E} $h := \{(x, a) : (x,a) \in m, a \in E\}$

h;e⊂m $h;e \subset m$

xma $xma$

b∈B $b \in B$

afb $afb$

x(m;f)b $x(m;f)b$

$m$

$x(m;g)b$

$a'$

$xma'$

$a'gb$

$a \symp a'$ ，但我们只知道和，因此我们无法真正推断出并完成。

$afb$

$a'gb$

$a=a'$

— Ohad Kammar，2011年

是的，您是对的-均衡器选择的子集必须取决于一致性，而不是相等性。我已经更改了定义以反映这一点，并给出了证明，该图已明确换向。

— Neel Krishnaswami

啊...但是现在不能使图相等。确实，假设。然后，根据的定义，我们有，因此存在一些这样。但是我们没有那个，所以我们不能显示。您似乎遇到了昨晚遇到的相同问题，因此是我上面明显的问题。但是也许你会在我失败的地方成功！我的下一步是采用更复杂的，比如说，但是不是有效的态射，因此需要更谨慎的选择。

$e$

$a(e;f)b$

$e$

$afb$

$a'\symp a$

$a'gb$

$aea'$

$a(e;g)b$

$e$

$aea' \iff a\symp a'$

$e$

— Ohad Kammar 2011年

我现在记得为什么我希望答案已经在某人的论文中了。:)无论如何，我会考虑得更多—可能存在一些技巧，因为反向图像是成对不相干的。

— Neel Krishnaswami