为什么尽管差示逼近率具有标准优势，但与标准方法相比并没有得到很好的研究？

有一种标准的近似理论，其中近似比率为（针对目标的问题），某些算法返回的值，最佳值。另一种理论是微分逼近，其中逼近率为，给定实例的可行解的最差值。该理论的作者声称，与经典理论相比，它具有一定的优势。例如： $\sup\frac{A}{OPT}$ $MIN$ $A$ $A$ $OPT$ $\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}$ $\Omega$

对于已知为同一问题的不同实现的“最小顶点覆盖”和“最大独立集”等问题，它给出了相同的近似率；
对于相同问题的最大版本和最小版本，它给出相同的比率。同时，在标准理论中我们知道MIN TSP和MAX TSP的比率非常不同。
它不仅可以测量到最佳距离，还可以测量到最接近的距离 $\Omega$ 。因此，在“顶点覆盖”的情况下，标准近似理论认为 $2$ 是最佳上限。但是要点 $2$ 是悲观者与最优者之间的最大比率。因此，保证了该算法输出具有最差值的解。

我的论据是：在渐近分析中，我们不考虑常数和低阶项（在这里，我记得Avi Widgerson的话：“我们成功是因为我们使用了正确的抽象级别。”）比较算法资源使用情况的抽象级别。但是，当我们研究近似值时，出于某种原因，我们在可以避免近似值的地方引入了差异。

我的问题是

为什么微分逼近理论研究得这么差。还是所涉及的论点不够充分？

ds.algorithms approximation-algorithms approximation-hardness

— 奥列克桑德·邦达连科（Oleksandr Bondarenko）
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我以前从未见过这个概念，并且认为它至少很有趣。很好奇答案！（尽管真正的原因可能很琐碎，例如“ Doh，从未考虑过”或“证明越来越难”或“当我开始时无法将其与其他结果进行比较”）

— Raphael

Answers:

有权利要求的两种解释“算法发现一个 -近似的问题 ” $A$ $\alpha$ $P$ ：

由于我们有一种算法可以很好地解决问题，因此很容易很好地解决问题 $P$
算法是好的，因为它找到一个很好的近似。 $A$

我认为逼近因子的经典定义强调了第一种解释。我们根据解决问题的容易程度对问题进行分类。

差分逼近比似乎在第二种解释上有更多权重：我们不想“奖励”平凡的算法（例如，仅输出空集或所有节点的集的算法）。

当然，两者都是有效的观点，但是它们是不同的观点。

我们也可以从更实际的角度研究这个问题。不幸的是，这样的顶点覆盖并没有太多的直接用途，但是为了争辩，让我们考虑一下这两个（有些人为的）应用程序：

顶点覆盖：节点是计算机，边缘是通信链接；我们希望监视所有通信链路，因此每个边缘的至少一个端点必须运行特殊的过程。
独立集：节点是工作人员，边模型之间的活动冲突。我们希望找到一组可以同时执行的无冲突的活动。

现在，两个问题都有一个简单的解决方案：所有节点的集合都是一个顶点覆盖，而空集合是一个独立集合。

关键区别在于，对于顶点覆盖问题，平凡的解决方案可以完成工作。当然，我们使用的资源超出了必要，但至少我们有一种可以在实践中使用的解决方案。但是，对于独立集问题，平凡的解决方案是完全无用的。我们根本没有进步。没有人在做什么。该任务永远不会完成。

类似地，我们可以比较几乎平凡的解决方案：顶点覆盖由最大匹配的端点组成，而独立集合是的补充。同样，当然可以在我们的应用程序中完成工作，这一次我们浪费的资源不会超过第二个因素。但是，可能又是一个空集，这是完全没有用的。 $C$ $I$ $C$ $C$ $I$

因此，近似保证的标准定义直接告诉我们该解决方案是否有用。顶点覆盖率大约为2即可完成工作。没有任何近似保证的独立集可能完全没有用。

从某种意义上说，微分逼近率试图衡量解决方案的“非平凡性”，但是在这两种应用中，这都重要吗？（在任何应用程序中都重要吗？）

— Jukka Suomela
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我在第二部分不明白你的意思。顶点的任何超近似选择都是可行的顶点覆盖，我们不需要知道该算法是2近似的。另一方面，对于独立集，即使是2逼近也很可能产生不可行的解决方案。因此看来，不可行的危险与问题有关，而不与（未知）近似范围有关。

— 拉斐尔

@Raphael：根据定义，最大独立集的2逼近是一个独立集（并且相当大；当然不是空集）。

— Jukka Suomela 2011年

没关系，读得太快了。但是，我仍然认为您的观点应该这样表达：没有近似保证的算法可以在VC的情况下完成工作，但在IS中却无法完成。（您正在那里比较苹果和梨吗？）然后，此研究与担保的选择有什么关系？无论哪种方式都会获得可行的解决方案。

— 拉斐尔

@Raphael：不，我是说，琐碎的VC 有一个有限的近似保证（喜欢的东西

），它能够完成任务，而简单的选择就是不不具有有限的逼近保证，它并没有得到工作完成。因此，近似保证至少说明了该解决方案的实用性。

O (Δ)

$O(\Delta)$

— Jukka Suomela 2011年

+1是因为示例很有趣。我认为“问题很容易解决”和“算法很好”之间没有明确的区别，但我有点模糊的理解。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

我不熟悉微分逼近的概念，而且我对为什么没有对其进行深入研究也没有任何理论。但是，我想指出的是，并非总是希望通过单个度量来描述近似算法的性能。从这个意义上说，我很难同意某项措施比另一项措施更好。

例如，如您所述，最小顶点覆盖率允许采用多项式时间2近似算法，而将最大独立集近似为任何恒定比率是NP难的。尽管我知道乍看之下可能令人惊讶，但它有一个合理的含义：（1）最小顶点覆盖率在较小时可以很好地近似，但是（2）在较大覆盖时不能很好地近似。当我们声明以任何正的常微分逼近比来逼近最小顶点覆盖（和最大独立集）是NP难的时，我们实际上就忽略了性质（1）。对于某些目的来说，忽略属性（1）可能已经足够了，但并非总是如此。

请注意，我们并不总是使用近似比率来描述近似算法的性能。例如，要完全基于PCP定理陈述一个不可逼近结果，我们需要基于缺口问题的表述。有关详细信息，请参见我对另一个问题的回答。在这种情况下，既不使用标准逼近率，也没有使用微分逼近率，都无法以全面的方式陈述结果。

— 伊藤刚
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标准逼近比的一个问题是，它从某种意义上说并没有向我们提供有关逼近真实质量的信息，因为它没有显示这种逼近与最差解有多远。请注意，对于具有最大目标的问题，使用标准比率不是这种情况，因为如果近似值与最差的解决方案一致，则近似值为

。在顶点覆盖的情况下，我们具有比

虽然具有最差溶液时近似重合

。

0

$0$

2

$2$

O P T ⩾ n / 2

$OPT\geqslant n/2$

— Oleksandr Bondarenko

@Oleksandr：“在顶点覆盖的情况下，虽然近似值与OPT⩾n/ 2时最差的解决方案相吻合，但我们的比率为2。”是否将其视为不利是一个观点。有人可能会争辩说，如果每个解决方案的目标值都在2倍以内，那么算法生成哪种解决方案都没有太大关系。标准近似率就是这样建模的情况。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

如果此因子2或其他任何较小的因子是最差的解决方案，那么这种结果将无济于事。

— Oleksandr Bondarenko

@Oleksandr：正如我所说，这是一个观点。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

正如Tsuyoshi指出的，问题可能出在您要使用所获得的边界的哪种参数上。在下文中，我将尝试发展两种不同的动机。

形式为标准比 $\alpha = \frac{A}{OPT}$

$\alpha = \frac{\Omega - A}{\Omega - OPT}$ $\alpha\cdot 100\%$

因此，根据派生绑定要返回的语句类型，应选择适当的替代方法。

$[\Omega, OPT]$

— 拉斐尔
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