是否存在描述此有限语言的多项式大小CFG？

是否存在置换和多项式大小（在）上下文无关文法，这些文法描述了字母的有限语言？$\pi_1,\pi_2$$|w|=n$$\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$$\{0,1\}$

更新：对于一个排列是可能的。是冲销或冲销的相对较小修改。$\pi$$\pi$

乔姆斯基范式

如果唯一的产品为以下形式，则CFG为CNF（乔姆斯基标准格式） $A \rightarrow a$ 和 $A \rightarrow BC$; 只需二次分解就可以将语法带到CNF。

为了语法 $G$在CNF，我们有漂亮的子字引理：如果$G$ 产生一个词 $w$，然后每个 $\ell \leq w$，有一个子字 $x$ 的 $w$ 长度 $\ell/2 \leq |x| < \ell$ 由某些非终端产生的 $G$。证明：下降（二进制）语法树，始终转到生成较长子字的子级。如果您以至少一个大小的子词开头$\ell$，你不能走到下面 $\ell/2$。

解

不失一般性，我们可以假设 $L_n$ （具有特定语言的语言 $\pi_1,\pi_2 \in S_n$）为Chomsky范式。语言$L_n$ 由单词组成 $w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$ 对所有人 $x \in \{0,1\}^n$。

每个使用子词引理 $w(x)$ 我们可以找到一个子串 $s(x)$ 长度

假设 $p(x) = p(y)$ 和 $A(x) = A(y)$。以来$|s(x)|<n$，子字 $s(x)$ 不能相交 $x$ 部分和 $\pi_2(x)$ 部分 $w(x)$; 我们可以假设它与$x$部分。从而$w(x)$ 的形式 $x \alpha s(x) \beta$。这意味着$A(x)$ 恰好生成一个字符串，即 $s(x)$。因此$s(x) = s(y)$。

现在 $s(y)$ 相交 $\pi_1(y)$ 要么 $\pi_2(y)$ 至少 $n/4$ 位置，从而至少确定 $n/4$ 的位 $y$。因此最多$2^{3n/4}$ 弦 $y \in \{0,1\}^n$ 可以有 $p(x) = p(y)$ 和 $A(x) = A(y)$。既然最多$3n$ 的可能性 $p(y)$，我们至少知道

评论：如果以下条件相同，则证明有效 $\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$，即在所有集合上的任意排列 $n$位字。给定$n/4$ 的位 $\pi_i(y)$，确实有 $2^{3n/4}$ 原像 $y$。

更多例子

使用相同的方法，可以证明每个字符恰好出现两次的语言需要字母大小的CFG指数大小。我们可以将“两次”替换为$\mathbb{N}$ 除了四个琐碎的（忽略 $0$，都不包含 $\mathbb{N}_{\geq 1}$ 或全部）。

我希望能为该证明方法提供参考。