问题教学的可计算性

我很难教授可计算函数的概念。我试图提出一个想法，为什么像希尔伯特（Hilbert）/阿克曼（Ackermann）/戈德尔（Godel）/图灵/教堂/ ...这样的研究人员发明了“可计算性”的概念。学生们立即问：“可计算性是什么意思？” 除非我教他们图灵机，然后回答“如果图灵机对其进行计算，则该函数是可计算的”，我不会回答。

所以，

是否有不需要使用图灵机，λ演算或类似计算模型的可计算性描述？即使是直观的描述也足够了。

75年前，周围没有计算机。因此，人们必须非常仔细地解释计算机的数学思想。

今天，每个人都知道计算机是什么，并且可能大部分时间都随身携带一台计算机。这可以非常成功地用于教学，因为您可以跳过带磁带机的过时想法。我的意思是，谁在用胶带？（我知道，我知道，您感到受侮辱了，图灵是个伟人，而我全都同意）。

您只要走进教室问一下：您的iPhone有什么无法计算的吗？这立即使您陷入有关有限资源的问题。然后您说：好吧，假设您的计算机实际上具有无限的内存，是否有无法计算的内容？而且，您可以更加理想化，并将注意力集中在数论功能上（因为您目前对Facebook不感兴趣）。您将需要解释一下计算机的工作方式（如注释中所述，如果学生知道一种编程语言，那是个好习惯，因为您可以使用它而不是描述硬件），但是在此之后，您可以使用所有可计算性的经典参数。理论得出结果。没关系，学生对机器的心理印象是iPhone。实际上，这很重要：对他们而言更重要的是知道他们的iPhone无法完成某些事情。

“如果有一个从输入到输出的'有效程序'，则该函数是可计算的。” 在介绍这个主题时，我过去曾指出他们（学生）如何有一种有效的方法来求解二次方程，而没有一个人可以求解5度或更高的方程。这可以引起对如何将“有效程序”形式化的讨论，但是这种讨论是您希望发生的事情，因此我认为这是功能而不是错误。

也许关键是所有这些模型旨在捕捉可计算性的概念。它们都是等效的事实意味着它们试图捕获的概念是可靠的。因此，尽管这不能解决您的难题，但这种健壮性使人们相信“如果有一个图灵机对其进行计算，则该函数是可计算的”。

我开始问“是否有任何问题是没有计算机能够令人信服地回答的？” 并将讨论引向哲学问题，例如“如果一棵树掉在森林里，会发出声音吗？” 或“有来世吗？” 我们很快就达成共识，即人类语言可以表达是/否的问题，这些问题涉及无法用数学表达的悖论或概念，因此，是的，存在不可争议的问题。

然后，我用口头上的疑问询问关于可以在计算机中表示的概念（例如整数和图形）是否存在不可争议的问题。我说是的，其中一个例子是著名的暂停问题，该问题涉及检查程序描述并说明程序是否有无限循环。直观地讲，无限循环就像黑洞一样，任何观察无限循环的程序都可能陷入无限循环本身。因此，回答该问题的任何程序都可能永远运行，因此，按照“算法”的定义，没有算法可以解决停止问题。

然后，我又回到图灵机上的样张中。

好吧，如果函数接受由特定模式形成或生成的输入，则该函数是可计算的。特定模式表示所有输入都应具有关系，特定输入可以由其上一个或下一个输入生成。如果输入没有这种类型的序列，则不可能开发可以接受的模型或函数。我还要说的一件事是，机器与人之间存在根本的区别。不能为非顺序输入形成机器，但是人类可以。同样，这对制造实际的人类行为机器人造成了很大的干扰。