Minkowski和下的闭包。

两组矢量的Minkowski求和由下式给出 $A, B \in R^d$

A \oplus B = {a + b ∣ a \in A, b \in B}

$A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}$

我刚刚听到一个有趣的问题（归因于Dan Halperin）：给定形状，是否存在形状使得？ $B$ $A$ $A \oplus A = B$

但这不是我的问题（这似乎是一个悬而未决的问题）。可以看出，在上述问题中，如果是一个凸集，则存在一个解因为在Minkowski和下，凸集是封闭的。 $B$ $A = (1/2)B$

修复一类形状。我们说，如果对任何在Minkowski求和下是封闭的。 ${\cal S}$ ${\cal S}$ $A, B \in {\cal S}, A \oplus B \in {\cal S}$

所以我的问题是：

在Minkowski和下闭合的形状类有很好的表征吗？ ${\cal S}$

cg.comp-geom

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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Jukka：我更新了问题。

— Suresh Venkat

我看过修订版2。（2）我怀疑是否存在比“在Minkowski和下闭合”更好的等效特征。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

的确没有直接的含义。但是证明使用了两个凸集之和为凸的事实。我可以改写说“也请注意..”而不是“因为……”

— Suresh Venkat

我不认为当证明凸集B的（B / 2）⊕（B / 2）= B时，我们使用两个凸集的Minkowski和是凸的事实。包含（B / 2）⊕（B / 2）⊇B与凸度无关。包含（B / 2）⊕（B / 2）⊆B是因为B是凸的：对于任何x，y∈B，由于（x / 2）+（y / 2）∈B B.

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Yoshio：有可能。这个问题也可能与一般小组的“总结”工作有关。

— Suresh Venkat

格和线性子空间在Minkowski和下是封闭的。从他们的定义中得知或多或少是直接的。格+线性子空间在Minkowski和下闭合（即，该集合的一个成员例如是彼此距离为1的一组平行线）。在Minkowski和下关闭带孔的连接面。圆环（两个同心圆盘的设定差）在Minkowski和下闭合（自然地，圆盘被视为圆环）。平行于某个方向的线段集合在Minkowski和下闭合。土豆泥在Minkowski的总和下封闭，但前提是要煮熟（或者可能还为时已晚）。

同样，在Minkowski和下，同心环的有限并集族是封闭的。

— 萨里尔·哈皮尔
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