有证据表明矩阵乘法可以在二次时间内完成吗？

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人们普遍猜测，矩阵乘法的最佳指数实际上等于2。我的问题很简单： $\omega$

我们有什么理由认为？ $\omega = 2$

我知道像Coppersmith-Winograd这样的快速算法，但是我不知道为什么可以将这些视为证据。 $\omega = 2$

天真地，在我看来，这就像一个经典的例子，一个社区仅仅希望出于美学原因才希望结果是真实的。我很想知道这里是否真的是这种情况。

ds.algorithms linear-algebra matrix-product

— 史蒂夫·弗拉米娅
source

12

我怀疑答案很大程度上是美学的原因，并且缺乏使其大于2的充分理由。在FOCS '05中，有一篇论文给出了与当前已知指数相匹配的矩阵多态的一些组理论构造，并且给出了2表示

群理论猜想。PDF

ω = 2

$\omega=2$

— Mark Reitblatt 2011年

5

几年前，我与Strassen进行了一次对话，他说他相信

。不过，我不确定他是什么原因。

ω > 2

$\omega > 2$

— 瑞安·威廉姆斯

2

@Ryan，我们希望Strassen读取cstheory.stackexchange。:)

— 史蒂夫·弗拉米娅

3

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

ω = 2

$\omega = 2$

2

$2$

5

ω

$\omega$

ω

$\omega$

20

$\frac{3}{2^{2/3}}$ $\frac{3}{2^{2/3}}$

（对于他们的另一种猜想4.7，这是基于群体理论的，除了直觉之外，我不知道有任何类似的合理性证据。）

其次，我同意Amir Shpilka的观点，即过去的算法字符串具有某种特定的感觉。但是，关于组理论方法的好处之一是，几乎所有（不是全部）以前的算法都可以用这种方法表述。尽管[CKSU]中的各种群体理论结构在外观上似乎是临时的，但在群体理论框架的背景下，它们似乎比许多其他理论结构更自然，更不特别（至少对我而言）以前的算法。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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当我想到“容量”时，我会想到独立的集合和集团。USP和基础图的显式构造之间的词典是什么？这些图是否有结构？

— T ....

28

$\omega=2$ $\omega=2$

— 阿米尔（Amir Shpilka）
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20

$\omega = 2$

$A$ $B$ $n$ $n$ $C = AB$ $C(i,j) = \sum_{k=1}^n A(i,k) B(k,j)$ $A$ $B$ $n$ $C = A*B$ $C(i) = \sum_{k=1}^n A(k)B(i-k)$ $\tilde{O}(n)$ $O(n^2)$ $\tilde{O}(n^2)$ 矩阵乘法的时间算法。问题是：傅里叶变换的模拟可以帮助矩阵乘法吗？

— 阿纳布
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-1

$O(n^{2} log(n^2))$ $\omega = 2$

— 乍得·布鲁贝克
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1

ω

$\omega$

c

$c$

O (n^{c})

$O(n^c)$

O (n^{2} \log^{10} n)

$O(n^2 \log^{10} n)$

2

$2$

Ω (n^{2} \log n)

$\Omega(n^2\log n)$

@SashoNikolov感谢您指出这一点。有没有人尝试为布尔矩阵A * B = C训练神经网络？[A条目，B条目，C条目]-> Bool（正确或不正确的乘法）。好奇梯度体面/辍学的电路是什么？如果训练有素的电路在吸引子分解附近具有吸引子。在3x3、4x4、5x5、6x6上，一个小时的GPU似乎会带来一些有趣的结果。

— 乍得·布鲁贝克