最小翻转连接问题

我今天在玩GPS时提出了以下问题。这里是 ：

令是有向图，使得如果则，即是基础无向图的方向。请考虑以下操作：È = （Û ，v ）∈ È （v ，Û ）∉ È $G(V,E)$$e=(u,v) \in E$$(v,u) \notin E$$G$

• （u ，v ）（v ，u $Flip(u,v)$：用边替换边$(u,v)$$(v,u)$
• $undirect(u,v)$：使边定向$(u,v)$

令为两个特殊顶点。考虑以下优化问题：$s,t \in V$

• 最小翻转st-连通性：给定和两个顶点找到从到的定向路径需要翻转的最小边数。$G$$s,t$$s$$t$
• 最小翻转强连接性：给定找到需要翻转以使牢固连接的最小边数。如果无法通过翻转边缘使牢固连接，则输出NO。$G$$G$$G$
• 最小非直接强连接性：给定找到使强连接所需的最小定向边数。$G$$G$

请注意，不允许您添加“新”边缘。您仅使用上述操作修改现有边缘。这是文献中已知的问题吗？如果是这样，已知结果是什么？

简介：通过找到最小成本的强连通方向，可以在多项式时间内解决问题。

更详细：罗宾斯定理告诉我们，无向图的边可以定向，这样，当且仅当无向图是2边连接时，结果有向图才是强连接的。有几个扩展，其中一个扩展表示使用多项式时间子模流算法，我们可以解决多项式时间中的以下问题：给定具有边成本（两个方向）的无向图，找到使该图紧密相连。例如，请参见Frank的论文。Iwata和Kobayashi提供了一种更新的算法。

该结果对于解决所提出的问题应该是有用的。第一个问题可以用Tomek提出的方法解决。因此，我们将专注于其他问题。

对于第二个问题，我们使用与Tomek相同的边缘加权图结构，并在多项式时间内找到最小成本的强连通方向。

对于第三个问题，为了允许每个边缘都有两个方向，我们复制每个边缘，然后应用相同的构造和相同的算法。这是有效的减少方法，因为对重复的边缘使用相同的方向不会影响强连通性。

这是第一个问题的答案：
考虑一个新的加权图，其中E ' = { （（u ，v ，0 ）| （Û ，v ）∈ Ë } ∪ { （v ，Ú ，1 ）| （Û ，v ）∈ Ë }（即在所有边的权$G'=(V,E')$$E'=\{(u,v,0)|(u,v) \in E\} \cup \{(v,u,1)|(u,v)\in E \}$$G$为0，“反向”边的权重为1）。现在，您只需找到从到t的最短路径。$s$$t$

如果将决策问题表述为“是否有一条需要最多翻转边缘的st路径？”，最小翻转st连接就是NL完全的。这是NL困难的，因为它在k = 0的特殊情况下包含st连接，并且在NL中是因为您可以猜测从s到t的路径，该路径使用一些翻转的边缘并一次遍历一个边缘，从而与确保向后遍历不超过k个边。$k$$k=0$$s$$t$$k$

在我最近的《组合优化中的连接》（牛津大学出版社，2011年）一书中，一个中心主题是图方向问题，包括上面讨论的变化。已知2k边连接图具有k边连接方向（这是Nash-Williams定理）。如果该图不是2k边缘连接的，则可能有兴趣确定给定的边缘子集F是否良好（就F的方向而言，使得所得混合图是k边缘连接的）。在这本书中，我描述了如何在多项式时间内解决这个问题。但是我不知道如何找到最小基数的良好集合。

安德拉斯·弗兰克

最小翻转st-连通性基数：计算从s（T）可以到达的所有顶点。如果t在T停止中。归纳法：考虑所有与T相邻但不在T中的顶点，将其翻转一格，并将其称为U。计算可从U到达的顶点称为V。如果t为V停止，否则将V添加到T并继续。

最小翻转强连接性您必须表示无指向性，因为您可能会遇到以下问题：A-> B