L2等距嵌入到L1中

已知给定的集（即给定个点具有欧几里得距离），可以等距地将它们嵌入。 $n$ $\ell_2^d$ $n$ ${\mathbb R}^d$ $\ell^{n\choose 2}_1$

等轴测图是否可以在多项式时间内计算（可能是随机的）？

由于存在有限精度问题，因此精确的问题是

给定中个点的集合和，是否存在映射可计算（可能使用随机性）的映射在时间多项式和对数在使得对于每一个我们有 $X$ $n$ ${\mathbb R}^d$ $\epsilon >0$ $f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$ $n$ $1/\epsilon$ $x,y\in X$

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

（注意：我知道可以通过投影在上，以和的时间多项式找到具有失真的映射，随机线，但是我不确定远大于时是否可以将维数构造性地减少到甚至，而且我不知道是否存在是多项式时间方法，用于处理在是指数的情况。） $(1+\epsilon)$ $n$ $1/\epsilon$ $O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$ $n\choose 2$ $O(n^2)$ $1/\epsilon$ $n$ $1/\epsilon$ $n$

cg.comp-geom metrics embeddings

— 卢卡·特雷维森（Luca Trevisan）
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这是一个非常好的问题。@Luca，您怀疑这可能很难吗？（当然，我的第一个想法是看“汉明遇见欧几里得”，然后我看到提问者的身份：）

— Suresh Venkat

该参考文献似乎与之相关：Pjotr Indyk，“不确定性原理，提取器以及将l2嵌入l1中的显式嵌入”，Proc.Natl.Acad.Sci。STOC'07。

— 马丁·史瓦兹

@David：是点数，我更正了使用作为尺寸的位置。也就是说在欧氏空间（任意尺寸）点可以在等距嵌入在这里证明：www-math.mit.edu/~goemans/18409-2006/lec1.pdf而是非-建设性地。（Carathéodory定理从有限但大的维数到具有任意小的误差的维，以及一个紧凑性参数从任意的小误差变为零误差。）

n

$n$

n

$n$

n

$n$

ℓ_{1}^{(\binom{n}{2})}

$\ell_1^{n \choose 2}$

(\binom{n}{2})

${n \choose 2}$

— Luca Trevisan

@马丁：感谢您的参考。彼得与所有的映射的较硬问题纸优惠

（不只是一组固定的

分）

。对于这个问题，我认为，这是一个开放的问题甚至实现，建设性地，

和失真

。（Piotr得到

且

ℓ_{2}^{d}

$\ell_2^d$

n

$n$

ℓ_{1}^{m}

$\ell_1^m$

m = p o l y (d, 1 / ϵ)

$m = poly(d,1/\epsilon)$

(1 + ϵ)

$(1+\epsilon)$

m = d^{O (\log d)}

$m = d^{O(\log d)}$

。）

ϵ = 1 / d

$\epsilon = 1/d$

— 卡·特雷维森

@LucaTrevisan：回复：嵌入l1的难度，这是真的（在Deza and Laurent书的第1章或第2章中提到-我认为是通过MAX CUT）

— Suresh Venkat

Suresh要求我将上面的评论汇总成一个答案，就在这里。不过，我不太确定这是否是原始问题的答案，因为当输入欧几里得空间的维数非恒定时，如何使它成为多项式时间并不清楚。它至少有避免与任何问题的优势大为原来的问题问，因为它不涉及任何近似，并且它看起来多项式常数。 $1/\epsilon$ $d$

无论如何：从积分几何学出发，在欧几里得全等下不变的维欧几里得空间中的超平面集合上有一个标准的度量。它具有这样的特性，任何有界长度曲线的长度正比于超平面的量度交叉（与多重性，这意味着如果一个超平面交叉两次，然后它有助于两次向超平面交叉的总度量）。特别地，如果是线段然后多重并发症不会出现，我们可以在超平面的归一化度量交叉是正好长度 $d$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ 。（包含的超平面的度量值为零，因此不必担心无限多重性。） $C$

现在，给出在d维空间的一组n个点，使一个坐标为每个点的分区成通过不经过任何的点的一个超平面诱导两个子集。将分区坐标值一侧的点设置为零，并将分区坐标值另一侧的点设置为等于诱导该分区的超平面集合的度量。 $\ell_1$

如果和是任何两个分，让是集合的超平面交叉线段的，并让是的子集通过具有每个可能的超平面分隔形成在一侧和的其他。则是的不交集并，和之间的坐标差只是子集的度量。因此， $p$ $q$ $n$ $K$ $pq$ $K_i$ $K$ $p$ $q$ $K$ $K_i$ $p$ $q$ $K_i$ $\ell_1$ 的coordinatizations之间的距离和（所述的措施的总和）是的度量，这仅仅是原始之间的距离和。 $p$ $q$ $K_i$ $K$ $\ell_2$ $p$ $q$

对于计算几何体，使用相同构造的替代描述可能会有所帮助：使用投影对偶性将输入点转换为超平面，并将超平面分离为点。然后将超平面集上的积分几何度量转换为点集上的更标准度量，和之间的距离偶化为两个超平面之间的双楔形度量，并且超平面布置将此双楔形划分为较小的像元。一个点的坐标值是该布置中一个单元的度量（如果双超平面在该坐标的单元下方）或零（如果双超平面在该单元上方）。因此， $n$ $n$ $p$ $q$ 和之间的距离只是双楔形中像元的度量之和，与整个双楔形的度量相同。这种双重观点还使计算以这种方式发现的嵌入的尺寸变得容易：它只是超平面排列中的像元数，即，或更准确地说最多 $\ell_1$ $p$ $q$ $O(n^d)$ 。 $\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

到目前为止，这给出了一个完全确定的和详细的嵌入。但是，我们需要一个更小的尺寸， $\ell_1^{O(n^d)}$ 。在此处，卢卡的有关评论右端是Carathéodory定理用武之地。一套-representable指标的形式在多面体锥 $\ell_1^{n\choose 2}$ $\ell_1$ 从无序点对到实数的所有函数的维空间，上面的几何论据说，欧几里得度量属于该圆锥。在锥体的极端光线的点是一维pseudometrics（其中点是分裂成两个集合，单套之内的所有的距离为零，且跨越分割所有距离是相等的），和右端是Carathéodory说锥体（包括我们所关心的一个）内的任何点可以被表示为点的极端光线，其数量最多是环境空间的维数，一个凸组合 $n\choose 2$ $\ell_1$ 。但是最多 $n\choose 2$ 一维指标是 $n\choose 2$ $\ell_1$ 公制。 $\ell_1^{n\choose 2}$

最后，我们该如何实际计算维嵌入？此时，我们不仅在 $n\choose 2$ 维凸的锥指标（距离度量我们开始），但我们也有一组通过超平面引起的锥体（对应于输入的分区成两个子集的极值点），使得我们的度量标准是这些极端点的凸组合-对于小，这比锥体总体具有的极端射线有了很大的改进。现在我们需要做的是应用贪心算法会从我们的设置去掉极值点，一个接一个，直到只剩 $n\choose 2$ $\ell_1$ $O(n^d)$ $d$ $2^n-2$ 他们离开了。在每个步骤中，我们都需要保持不变，即我们的度量仍在其余极值点的凸包内，这只是一个线性编程可行性问题，如果这样做，Carathéodory将确保始终存在一组 $n\choose 2$ 凸包包含输入度量的极端点。 $n\choose 2$

— 大卫·埃普斯坦
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