在

1979年，Freivalds表明，可以在随机时间内完成任何领域的矩阵乘积的验证。更正式地说，给定三个矩阵A，B和C，其中包含来自字段F的条目，检查AB = C是否具有随机时间算法的问题。 $O(n^2)$ $O(n^2)$

这很有趣，因为已知的最快的矩阵乘法算法比这慢，因此检查AB = C是否比计算C快。

我想知道什么是最通用的代数结构，在该结构上矩阵乘积验证仍然具有时间（随机）算法。由于原始算法适用于所有领域，因此我想它也适用于所有整数域。 $O(n^2)$

对于这个问题，我能找到的最佳答案是在路径，矩阵和三角形问题之间的亚三次等效性，他们说：“环上的矩阵乘积验证可以在随机时间[BK95]中完成。” （[BK95]：M。Blum和S. Kannan。设计检查其工作的程序。J。ACM ，42（1）：269-291，1995年。） $O(n^2)$

首先，环是这个问题具有随机算法的最一般的结构吗？其次，我看不到[BK95]的结果如何显示所有环上的时间算法。有人可以解释它是如何工作的吗？ $O(n^2)$ $O(n^2)$

ds.algorithms linear-algebra matrix-product

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
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一个愚蠢的问题：确定性验证与乘法一样难吗？如果您不仅获得了A，B和C，而且还获得了紧凑的证书，该怎么办？有什么帮助吗？

— Jukka Suomela 2011年

@Jukka：我相信解决这个问题的最佳确定性算法并不比矩阵乘法快，但是我不知道是否有理由这样做。关于第二个问题，如果AB不等于C，然后有一个短暂的证书工程：C的条目是不正确的，A的B的相应的行和列

— 罗宾·科塔里

这里有一个简短的论据，说明为什么它可以在环上使用。给定矩阵，，，我们验证通过拾取随机位向量，然后检查是否。如果显然可以通过。 $A$ $B$ $C$ $A B = C$ $v$ $ABv = Cv$ $AB = C$

假设且。设。是的非零矩阵。发生这种情况的可能性是多少？令为非零条目。假设 $AB \neq C$ $ABv = Cv$ $D = AB - C$ $D$ $Dv = 0$ $D[i',j']$ $\sum_{j} D[i',j] v[j] = 0$ 。以概率，，所以我们有 $1/2$ $v[j'] = 1$

。 $D[i',j'] + \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j] = 0$

其加法运算下的任何环是加法群，所以有一个独特的逆，即，。现在，坏事件的概率为至多 $D[i',j']$ $-D[i',j']$ $-D[i',j'] = \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j]$ $1/2$ 。（看到这一种方式就是“推迟决定原则”：为了总和相等，至少一个其他必须为非零所以考虑。对应于这些其他非零项，即使我们将所有的最佳设置为除其中之一之外，最后一个为或可能性仍然相等 $-D[i',j']$ $D[i',j]$ $v[j]$ $v[j]$ $0$ $1$ 的，但仍然只有这些值可以使最终总和中的一个等于）。因此，与概率至少，我们成功地发现，，当是非零。（注意和是为独立选择。） $-D[i',j']$ $1/4$ $Dv \neq 0$ $D$ $v[j]$ $v[j']$ $j \neq j'$

如您所见，以上参数取决于减法。因此，它不适用于（例如）任意交换半环。也许您可以放宽代数结构的乘法性质，而仍然得到结果？

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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很好，谢谢。我认为您认为有可能减少对乘法结构的限制。仅作为我的信息，这与Freivalds的原始论文中使用的算法不同吗？

— 罗宾·科塔里

Freivalds的算法选择了一个分量为{-1,1}的随机向量。那也行。如果你更细心，你能获得成功的概率至少为

。

1 / 2

$1/2$

— Ryan Williams