图灵机与Lambda演算之间的关系？

49

图灵机和Lambda演算之间是否存在关系-还是它们恰巧同时出现？

computability lambda-calculus turing-machines

— 鹰眼
source

7

你能详细说明你的问题吗？两种模型都具有相同的计算能力（都能够表达递归函数族），也就是说，它们已经完成了图灵运算。参见：en.wikipedia.org/wiki/Turing_completeness

— Joel Rybicki 2010年

相关：可实现性理论：Lambda演算与图灵机之间的能力差异

— Kaveh

这是一个很好的问题！

— Tayfun Pay'7

31

Lambda演算比Turing的机器模型更老，显然可以追溯到1928-1929年（Seldin 2006），并且被发明为封装了Church为他设计的基本逻辑所需要的示意函数的概念。它并不是为捕获可计算函数的一般概念而发明的，实际上，较弱类型的版本会更好地达到他的目的。

似乎偶然地发现了教会发明的微积分是图灵完备的，尽管后来教会使用拉姆达微积分作为他所谓的有效可计算函数（1936年）的基础，图灵在他的论文中呼吁。

丘奇的简单类型理论（1940）提供了一种更适度的类型化函数理论，该表达式足以表达高阶逻辑的语法，但并不表示所有递归函数。可以认为该理论更符合教堂的原始动机。

参考文献

教堂（1936）。基本数论中的一个不可解决的问题。 美国数学杂志 58：345—363。
教堂（1940）。简单类型理论的提法。 符号逻辑学报 5（2）：56-68。
塞尔丁（2006）。咖喱与教会的逻辑。在《逻辑史手册》第5卷：《从罗素到教堂的逻辑》，第1页。819—874。北荷兰省：阿姆斯特丹。

注意由于Kaveh和Sasho的反对，此答案已得到实质性修订。我推荐Kaveh建议的Wikipedia时间轴，《教会的历史-转向论文》，其中有一些引人注目的引文。

— 查尔斯·斯图尔特
source

2

丘奇声称在图灵的论文之前，lambda演算可以捕捉可计算函数的直观表示，这就是为什么它被称为丘奇论文。捕获可计算函数的一般概念的想法可以追溯到更久以前（例如Godel的通用递归函数），而Church试图捕获它。

— 卡夫

5

我认为说模型的等效性完全是偶然的，这是一种误导。在我看来，Church和Turing着手捕捉相关的概念，即使现在还不很明显这些概念实际上是相关的。您是说黎曼积分与反分化紧密相关是“完全的意外”吗？

— Sasho Nikolov

@Kaveh：根据Seldin（2006）的Church and Curry的逻辑， lambda演算的目的和语法是在1928年至1929年间发展起来的，早在Church意识到递归函数的一般概念之前。我的答案将从时间轴中受益，但是我现在没有时间来整理时间。

— 查尔斯·斯图尔特

1

λ

$\lambda$

1

@Charles，正如我写的那样，我同意Church的最初动机是建立一个基础（类似于Frege的系统）（AFAIK），但他也将其视为图灵工作之前的计算模型。我认为答案不必删除，修改第二段应该可以。（我评论的原因是，我觉得最近人们低估了Church的工作具有可计算性。）

— Kaveh

26

我只想指出，虽然lambda演算和Turing机器都计算同一类的数论函数，但它们在每种可想象的方式上都不完全相同。例如，在可实现性理论中，有些陈述可以通过图灵机实现，而不能通过lambda演算实现。其中一种说法是正式的教会论点，其中指出：

\forall F ： ñ 一种 Ť \to ñ 一种 Ť \exists Ë \forall ñ \exists ķ （ Ť （ Ë ， ñ ， ķ ） \land ü （ ķ ， F （ ñ ） ） ）

$\forall f : \mathbf{nat} \to \mathbf{nat} \ \exists e \ \forall n \ \exists k \ \big( \mathbf{T}(e, n, k) \land \mathbf{U}(k,f(n)) \big)$

$\mathbf{T}$ $c$ $f$ $e$ $f$ $f$ $c$ $c$ $f$ 。这是不可能做到的（如果您将其作为一个单独的问题来问，我可以解释为什么）。

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
source

4

T_{E} X

$T_EX$

维基百科文章Andrej使用了不同的参数顺序，第二个参数是输入，第三个参数是暂停计算的代码，第一个参数是机器的代码。我猜您是在说CT，我是根据vDT88编辑的。

— 卡夫

f

$f$

λ

$\lambda$

f

$f$

λ

$\lambda$

@Kaveh：我认为是相反的情况，但是我也想知道为什么在lambda演算中也具有与输入相同类型的输出是不自然的。

— 亚伯·莫利纳

1

f : R \to R

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

N^{N}

$\mathbb{N}^\mathbb{N}$

11

它们在数学和历史上都相关。

Lambda演算是由Alonzo Church（于1932年出版）于1928年至1929年开发的。

Turing机器由Alan Turing（于1937年出版）在1935年至1937年开发。

艾伦·图灵（Alan Turing）是阿隆佐·丘奇（Alonzo Church）的博士学位。1936年至1938年在普林斯顿大学学习。

图灵机和lambda演算在计算能力上是等效的：它们可以有效地相互模拟。

— 马特·威
source

6

Entscheidungsproblem问题是数学家David Hilbert提出的23个著名问题之一。

1936年和1937年的Alonzo Church和Alan Turing分别发表了独立论文，表明无法通过算法确定算术语句是对还是错，因此不可能对Entscheidungs问题进行一般性解决。

这是由阿隆佐·丘奇（Alonzo Church）于1936年根据其λ微积分提出的“有效可计算性”概念完成的，而同年由艾伦·图灵（Alan Turing）与他的图灵机概念一起完成了。后来认识到这些是等效的计算模型。-维基百科

因此，lambda演算和图灵机不仅紧密相关，而且是等效的计算模型。

您可能还喜欢阅读 由Charles Petzold撰写的《带注释的图灵：Alan Turing关于可计算性和Turing机器的历史性论文导览》。本书捕获了有关该主题的一些有趣信息。

— Pratik Deoghare
source

4

图灵机和Lambda微积分是捕获算法（机械计算）概念的两个模型。教会发明了Lambda演算来执行具有函数的计算。它是功能编程语言的基础。基本上，图灵机可以计算（确定）的每个问题也可以使用Lambda演算来计算。因此，它们是两个等效的计算模型（最多为多项式因子），并且都试图捕获任何机械计算的能力。

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
source