尺寸减少而松弛？

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约翰逊-Lindenstrauss引理表示大致是，对于任何集合的在点，存在地图其中使得对于所有： $S$ $n$ $\mathbb{R}^d$ $f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$ $k = O(\log n/\epsilon^2)$ $x, y \in S$ 据了解，类似的语句是不可能的度，但如果通过提供担保较弱各地获得这种下限的任何方式，知道了吗？例如，可以存在是用于上述引理的版本

(1 - ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2} \leq | | x - y | |_{2} \leq (1 + ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2}

$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{1}

$\ell_1$ 只能保证保留大多数点的距离，但可能会导致某些任意扭曲的度量？不能为“太接近”的点提供乘法保证的人吗？

— 亚伦·罗斯
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9

如此积极的结果的标准参考是Piotr Indyk关于稳定分布的论文：

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

他示出了用于尺寸减小技术，其中任何一对点之间的距离不增加（比因子由多个）具有恒定概率和距离不减少（比因子更）以高概率。嵌入的尺寸将在指数。 $\ell_1$ $1+\epsilon$ $1-\epsilon$ $1/\epsilon$

可能有一些我不知道的后续工作。

— 莫里兹
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8

看到公制曲面嵌入带松弛担保纸这对结果（的“正常降解失真”的条件下），并一般 $\ell_1$ $\ell_p$ 的嵌入。

也看一下实用的程序降维在纸张。 $\ell_1$

— 第39话
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7

它由Newman和拉比诺维奇最近显示在n个点有降维到维。使用亚伯拉罕等人的定理。（公制以轻松的保证，上述嵌入）一个可以得到的尺寸降维，对于一个作品的对比例。 $\ell_1$ $O(n/\epsilon)$ $O(1/(\delta\epsilon))$ $1-\delta$

— 耶尔
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4

的另一个松弛降维是要求在于一个的维子空间和化妆取决于。Talagrand 证明给定一个维子空间的（他甚至证明它对于），存在地图为 $\ell_1$ $S$ $c$ $\mathbb{R}^d$ $k$ $c$ $c$ $V$ $\ell_1^d$ $L_1$ $f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$ 使得对所有， $k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$ $x, y \in V$ $(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$ 。他的嵌入是一个简单的随机过程，但是它分步进行，并且每一步都以恒定的概率成功；在每个步骤之后，您需要检查该步骤是否确实成功，如果没有成功，请重复此步骤。因此，Talagrand的嵌入缺少JLT的关键特征：可以从独立于的分布中选取出来的事实。 $f$ $S$

最近，伍德拉夫（Woodruff）和索勒（Sohler）证明了与塔拉格朗（Talagrand）类似的结果，但附加的功能是，就像在JLT中一样，是从独立于的分布中选取的线性映射：您需要选择一个矩阵，其中每个矩阵entry是一个iid Cauchy随机变量。这符合Indyk的稳定预测精神：Cauchy是1稳定的。 $f$ $S$ $k \times d$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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