超级马里奥银河问题

假设马里奥（Mario）在行星表面行走。如果他从已知的位置开始沿固定的方向行走了预定的距离，我们将如何快速确定他将在哪里停下来？

更正式地说，假设我们在3空间中得到了凸多面体，P的表面上的起点s，方向矢量v（在包含p的某些小平面中），并且距离ℓ。我们多快可以确定P Mario的哪一面停在内部？（作为技术要点，假设如果Mario进入P的顶点，他会立即爆炸；所幸，这种情况几乎不会发生。）$P$$s$$P$$v$$p$$\ell$$P$$P$

或者，如果您愿意：假设我们预先获得了多面体，源点s和方向向量v。预处理之后，我们能够多快地回答了一定距离的问题ℓ？$P$$s$$v$$\ell$

简单地跟踪Mario的足迹很容易，尤其是当仅具有三角形小平面时。每当Mario通过其边缘之一进入构面时，我们可以在O （1 ）时间中确定他必须穿过其他两个边缘中的哪一个。尽管该算法的运行时间仅在边缘交叉数量上是线性的，但它不受输入大小的限制，因为距离ℓ可以任意大于P的直径。我们可以做得更好吗？$P$$O(1)$$\ell$$P$

（在实践中，路径长度实际上不是无限的;还有一个全球性的上界表示输入所需要的比特数的条件，但坚持整数投入提出了一些相当恶劣的数值问题-我们如何计算。正是在那里停止吗？—因此，我们坚持使用实际输入和精确的实际算术。）

关于这个问题的复杂性，有什么重要的知识吗？

更新：根据julkiewicz的评论，很明显，纯RAM的运行时间仅以（多位点的复杂性）为界是不可能的。考虑双面单元方的特殊情况下[ 0 ，1 ] 2，与马里奥开始（0 ，1 / 2 ）和在行走方向（1 ，0 ）。马里奥将停止在前面或取决于整数的奇偶平方的背面⌊ ℓ ⌋。除非我们很高兴，否则我们无法在真实RAM上恒定时间计算下限函数$n$$[0,1]^2$$(0,1/2)$$(1,0)$$\lfloor \ell \rfloor$等同PSPACE和P。但是，我们可以计算在Ø （日志ℓ ）通过指数检索，这是在天真的算法的指数调整时间。 在时间多项式ñ和日志ℓ总能实现？$\lfloor \ell \rfloor$$O(\log \ell)$$n$$\log \ell$

这个问题非常非常困难。我们可以简化它，使其变得更容易，如下所示。

1. $P$$\pi$

2. 我们可以假设多面体不是真正的三维，而是多边形的“双”。这看起来有点像枕套。我们可以进一步简化，并假设多边形的边相等且平行。例如正方形，例如Astroids游戏。

$O(\log(\ell))$

如果我们不假设合理性，但假设多边形是多边形的两倍，那么我们正在讨论“在非理性台球中切割序列”的理论。似乎这里基本上什么都不知道。例如，请参见Corinna Ulcigrai 演讲的最后一句话。

如果我们不做任何假设，那我在文献中就什么也想不到。

$O(\log(\ell))$

我认为您可以做得比线性更好。我是理论计算机科学的新手，如果这很垃圾，请原谅我。

一些一般性的想法（价值不一）：

• 如果我们给每个构面一个符号，则马里奥绕它们的轨道可以描述为一个字符串，其中字符串中的最后一个符号就是答案。
• 我们可以不失一般性地假设马里奥（Mario）从边缘开始（只需向后走并将l延伸到边缘）
• 起始位置和角度的2D空间可以由下一个边缘进行划分。因此，从边缘a开始，从底部开始x个单位，角度为a，我们经过一个小平面后在边缘V中结束。
• 那时我们处于另一个方向的另一个边缘，因此我们可以递归调用该函数，以将空间细分为2个符号字符串的分区，依此类推。
• 至此，如果我们说必须离散空间以便在TM上实现问题，那么我们就结束了。这意味着每个轨道都必须是周期性的，因为离散地球上只有有限的许多点。我们可以计算上述函数，直到我们对所有起点都有轨道并存储此信息为止。然后问题变成O（1）。
• 也许那是个警察。一些谷歌搜索告诉我，有理凸多边形内的几乎所有台球轨道都是周期性的（即，周期性轨道是密集的）。因此，对于（例如）正方形行星，相同的方法可能有效。
• 另一种方法是将系统视为字符串的生成器/识别器（再次通过为每个构面分配自己的符号）。如果该语言具有已知的复杂度类，那就是您的答案。如果将多面族的范围扩展到非凸面和任何维度，则可能会捕获非常广泛的一类语言。

这并不是真正的答案，但是我需要重新工作。:)