量子PAC学习

背景

中的函数可以使用经典算法在准多项式时间内通过PAC学习，该经典算法需要随机选择O （2 l o g （n ）O （d ））查询来学习深度为d的电路[1]。如果没有分解算法，那么这是最佳的[2]。当然，在量子计算机上，我们知道如何分解，因此该下限无济于事。此外，最佳经典算法使用函数的傅立叶频谱，因此大喊“量化我！”$AC^0$$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] N. Linial，Y。Mansour和N. Nisan。[1993]“恒定深度电路，傅立叶变换和可学习性”，ACM杂志40（3）：607-620。

[2]哈里托诺夫（M. Kharitonov）。[1993]“分布特定学习的密码学硬度”，ACM STOC'93会议录，第372-381页。

实际上，六年前，斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）将的可学习性作为他的十个量子计算理论的半大挑战之一。$AC^0$

题

我的问题有三点：

1）在密码学假设的前提下，是否存在自然函数族的示例，量子计算机可以比传统计算机更快地学习？

2）特别是在的可学习性方面是否有任何进展？（或更具雄心的T C 0）$AC^0$$TC^0$

3）关于的可学习性，Aaronson评论说：“那么，在学习神经网络的接近最佳权重方面，量子计算机将比传统计算机具有巨大优势。” 有人可以为神经网络和T C 0电路的权重更新之间的关系提供参考吗？（除了阈门看起来像是乙状神经元的事实之外）$TC^0$$TC^0$（这个问题已经被问及回答了）

我会为您的第一个问题开枪：

在给定密码学假设的情况下，是否存在自然函数族的示例，量子计算机可以比传统计算机更快地学习？

好吧，这取决于确切的模型和最小化的资源。一种选择是将标准经典模型的样本复杂度（用于与分布无关的PAC学习）与一个量子模型进行比较，该量子模型被给予量子样本（即，代替被给予随机输入和相应的函数值，该算法被提供）与输入及其函数值的量子叠加）。在这种情况下，量子PAC学习和经典PAC学习基本上是等效的。样本复杂度的经典上限和样本复杂度的量子下限几乎相同，如以下论文序列所示：

[1] R. Servedio和S. Gortler，“量子和经典可学习性之间的对等和分离”，《 SIAM计算杂志》，第1卷。02138，第1至26页，2004年。

[2] A. Atici和R. Servedio，“量子学习算法的改进边界”，《量子信息处理》，第1-18页，2005年。

[3] C. Zhang，“量子PAC学习的查询复杂性的改进下限”，《信息处理快报》，第1卷。111号 1卷，第40-45页，2010年12月。

$O(n^{\log n})$

[4] N. Bshouty和J. Jackson，“使用量子示例预言机在均匀分布上学习DNF”，SIAM计算杂志，第1卷。28号 3，第1136–1153页，1998年。

[5] J. Jackson，C。Tamon和T. Yamakami，“重新审视了Quantum DNF的易学性”，《计算与组合》，第595-604页，2002年。

[6] A.Atıcı和R. Servedio，“用于学习和测试Juntas的量子算法”，量子信息处理，第1卷。6号 5，第323–348页，2007年9月。

另一方面，如果您只对标准的经典PAC模型感兴趣，可以使用量子计算作为后处理工具（即没有量子样本），那么Servedio和Gortler [1]会发现存在一个概念类对Kearns和Valiant而言，假设分解因式为Blum整数的硬度，经典的PAC不能学习，但使用Shor算法可以从量子PAC上学习。

Angluin通过成员资格查询进行精确学习的模型的情况有些相似。量子查询只能在查询复杂度方面提供多项式加速。但是，假设存在单向函数，则时间复杂度将呈指数级增长[1]。

我不知道第二个问题。我也很高兴听到更多有关此的信息。

这当然不是您问题的完整答案，但希望对第一部分有所帮助。使用量子算法来识别未知预言似乎引起了很多兴趣。这方面的一个例子是Floess，Andersson和Hillery的最新论文（arXiv：1006.1423），该论文采用了Bernstein-Vazirani算法来识别布尔函数，该布尔函数仅依赖于输入变量（juntas）的一小部分。他们使用这种方法来确定低阶多项式的oracle函数（它们明确地处理线性，二次和三次情况）。