几何学洞察力对于解决完全非几何学问题有用的示例

在具有三个空间维度的宇宙中进化的好处之一是，我们开发了解决与空间物体有关的问题的技巧。因此，例如，我们可以将三元组视为3-d中的一个点，因此将有关三元组的计算视为有关3-d中的点的计算，然后可以使用我们对空间的直觉来解决。这似乎表明使用几何学技术有时可能可以解决一个完全非几何学的问题。有人知道这样的例子吗？

当然，术语“几何”和“非几何”在这里有点模糊。可以辩称，如果将所有点替换为其坐标，则任何几何问题实际上都是非几何问题。但从直观上看，定义很明确。假设我们考虑将有关其的论文发送给SoCG，那么我们称其为几何图形。

还有更多示例：

Sleator，Thurston和Tarjan使用树木的几何表示作为多边形的分区以及双曲线几何来证明二叉树旋转的下界。（此外，我相信动态二叉搜索树的历史可以表示为四面体。）

由于Berkman和Vishkin，将最不常见祖先减少到范围最小查询，使树上的数据结构问题与可争论的几何问题相关。（感谢大卫的文章）

将调度问题减少到最大的独立于轴平行矩形的权重独立集合[1]或将不同的调度问题减少到几何集覆盖[2]可能是合格的。

将最大的常见子序列问题简化为寻找最大值层是众所周知的（这意味着，我懒得查找实际上是谁想到的）。

[1]（Liane Lewin-Ey​​tan，Joseph Seffi Naor和Ariel Orda）

[2] Nikhil Bansal，Kirk Pruhs。计划几何，FOCS 2010。

[后编辑]还有其他一些情况，其中“几何”视图似乎令人惊讶（尽管可能没有满足“向SoCG提交”或“使可视化的东西”标准）：

代数拓扑应用于下界以进行分布式计算

将可计算性纳入Hausdorff维度

为组定义距离的概念，然后是体积，然后是体积作为距离的函数，然后使用“多项式增长”

当然，一个多更好的答案比我以前的一个是解决稀疏的切割使用的度量嵌入理论。解决最稀疏问题的关键步骤是认识到，可以通过将通用指标很好地嵌入赋范空间来近似$\ell_1$。

在其他地方也提到了这些问题，但我喜欢的一个示例是：使用部分信息进行排序是找到给定的波塞特的固定未知线性扩展的问题，并使用尽可能接近信息理论的比较查询数下限（仅当比较次数是关键复杂性度量，并且一些比较是免费提供时，才进行排序）。萨克斯（Saks）和卡恩（Kahn）使用有序多面体的属性证明了最优（至恒定）比较策略的存在，该多面体是与波幅相关联的特殊多面体（您可以在Matousek的《离散几何讲座》中找到很好的论述）。第一个多项式时间算法 （由Kahn和Kim提出），计算最佳（最大为一个常数）比较策略的方法再次使用了输入多面体的不可比图的阶多面体以及稳定集多面体的属性。

Demaine等人最近发表了一篇相对较新的论文，该论文使用二进制搜索树的几何表示法来提高动态最优性的技术水平。我在这里有点模糊，因为它们不能解决DO的猜想：但是它们确实加强了一些界限，并提供了一些新的见解，这些见解似乎来自几何公式。

我不认为有此类事例。除了线性编程，半定式编程，复数，机器学习的大部分内容等外，真正的问题是http://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGyso。

去年在POPL上有一篇不错的论文，《EigenCFA：使用GPU加速流分析》，将lambda项表示为矩阵，然后使用GPU对其快速执行数据流分析。

本文没有明确指出这一点，但是他们的基本工作是利用向量空间的分类结构来表示树。也就是说，在普通集合论中，一棵树（具有一定的固定高度）是笛卡尔积的嵌套不交集并集。

但是，向量空间也具有直接乘积和总和，因此您也可以将树表示为适当向量空间的元素。此外，向量空间的直接乘积和直接和是重合的，即它们具有相同的表示形式。这为并行实现打开了大门：由于物理表示形式相同，因此可以消除很多分支和指针追逐。

这也解释了为什么数据流分析是三次时间的：它是在计算特征向量！

在网络中，路由器使用TCAM（三态内容可寻址存储器-换句话说，具有无关位的内容可寻址存储器）对流量进行分类。TCAM中的条目通常是多维前缀匹配规则：例如（101 *，11 *，0 *）匹配任何包，其中第一个标头字段以101开头，第二个标头字段以11开头（以此类推）。数据包与第一个规则不匹配，继续到第二个，依此类推，直到找到匹配的规则。

$d$$R^{d+1}$$d+1$$R^{d+1}$$d$$d+1$

对于网络人来说，这种解释对于理解一组特定规则的作用很有用。对于理论家来说，还有其他有趣的用途。根据Gupta和McKeown的数据包分类算法，几何解释使我们能够快速确定数据包分类问题的上下限。我知道有关TCAM规则最小化（查找保留语义的最小规则）的工作也受益于几何方法。我可以为此提供大量参考，但是可能对您最有用的是Applegate等人的SODA 2007论文压缩直线图形并最小化访问控制列表。他们证明最小化上述前缀匹配规则的更一般的变体是NP困难的，并将其（再次）连接到矩形的漂亮图片上即可解决问题！

令我惊讶的是，没有人说过找到两个数字之间最大公因数的欧几里得算法。您可以通过绘制一个axb矩形来解决该问题，然后将该矩形除以最小边所创建的正方形，对剩余的矩形重复此操作，对剩余的矩形重复此操作，直到找到可以均匀分割剩余矩形的正方形为止（请参见欧几里得算法页面上的gif动画）。

国际海事组织，这是一种非常优雅的方法来弄清事情的原理。

可能有太多的示例要列出，但是一个经典的示例（Aigner和Ziegler强调为“ 书中的证明 ”）是Lovász使用几何表示来解决Shannon能力的问题。尽管该证明于1979年发布并从1956年开始解决了一个悬而未决的问题，但这仍然是最新技术。

纠错码与晶格，球体堆积等的关系（例如，Conway和Sloane书）。但是这种关系是如此紧密，以至于在此之后我是否应该将纠错码称为“完全不是几何的”，这还不是很清楚。

像LLL或PSLQ这样的格简化技术是高度几何的，可以解决纯数字理论的问题，例如线性丢番图逼近和整数关系检测。

$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

Gerard Salton提出了使用向量之间的夹角余弦（余弦相似度）进行信息检索的想法。这用于计算术语频率-文档的反向频率。 我认为这是现代搜索引擎的前身。另请参见向量空间模型。

$k$$k$

当然，证明比几何更具有拓扑性，但是在低维度上，它具有清晰的几何图形。据我所知，不存在纯粹的组合证明（即，您可以向拒绝听取任何拓扑信息的人解释的证明）。

空间填充曲线在数据库和优化中的作用：http： //people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC

支持向量机在机器学习中可能合格。

存在用于解决线性规划的计算几何技术。 计算几何：算法和应用程序有一章很简单。

甲定积分的函数可以被表示为通过其图形包围的区域的符号面积。