如何放下您的证明

检查证明的一般准则是什么？我相信这对像我这样的研究生很重要。我已经知道我们需要做些什么来证明某些东西，但是在发送之前，您始终必须检查所有内容。甚至给自己的顾问。

我通过反复试验制定了一些策略，并从顾问那里得到了很多建议。但这始终是非常繁琐的工作。通常，当您完成某件事时，您只想继续下一个问题，但是您仍然必须坚持当前的问题，直到一切都变得完美为止。在这里，我展示了自己的一些技巧示例：

1. 填写详细信息。如果您写“很明显……”，“不失一般性……”等，很多地方都会出错。
2. 尝试一些数字。尝试极端情况，例如“当我设置或时会发生什么”。$n=1$$n=1000$
3. 保持笔记本清洁。每天在上面写下，并与您的粗略笔记进行比较。我也尝试用乳胶写东西，这样我发现了很多错误。

您用来检查证明的一般策略是什么？

这个问题的目的是使它成为社区维基。

软件工程师有一个概念，他们称之为“ 代码气味 ”。这些是代码中的症状，可能表示更深层次的问题。软件工程师收集要注意的精神气味清单（即，方法过长或参数过多）。它不一定表示存在问题，而只是表明编写者可能要仔细检查。

我建议我们也应该考虑“难闻的气味”。这不会给您提供一种检查证明的算法，但是会提供一种语言和一种隐喻，用于识别证明中可能存在的问题。校对气味的一些示例：

1. 副词“很明显”，“很明显”等。
2. 引用先前结果的证明，而不是引用结果本身。
3. 轻率地使用具有许多技术先决条件的结果。

也有更微妙的气味。例如，如果一个证明使用二项式定理扩展表达式，然后又使用二项式定理返回封闭形式，则可能对封闭形式进行直接操纵即可得出相同的结果。

我的建议是收集（精神或书面）此类气味的清单，并在您阅读作品时进行检查。这种方法的好处是它还将使您成为更好的读者。

注意：我希望此答案能直观地支持兰帕特（Lamport）的《如何写证明》中所提供的严格答案，该答案引用于M. Alaggan的答案中。

Leslie Lamport的论文很好（如何写证明）。实际上，这是他的一种建议，即以如下方式编写详细的证明：

（1）允许直接检测错误

（2）弄清楚哪些假设和定理在哪些部分中使用，这很容易看出如果您想要（例如）使用较弱的假设会发生什么

关于MO的这项技术，也有一些社区经验和鼓舞人心的评论，这些评论总体上显示出积极的经验（以及其他一些资源）。

更新：有一个新版本如何编写21世纪的证明。

迪克·利普顿（Dick Lipton）有一篇很好的文章，标题为“ 如何证明证明就是证明 ”

我似乎记得很早以前读过一篇关于物理学家如何处理类似问题的通俗文章。谁知道以下版本的准确性如何？欢迎更正。但是我发现基本策略非常出色。

他们解释了他们如何相信黑洞。黑洞最初纯粹是数学构造，就像虫洞中的其他物理奇异物体一样。他们的策略引人注目：他们会在数学上将其他对象扔到要测试的对象上。虫洞的测试失败，因为他们发现虫洞即使在存在正常物理物体（例如小行星）的情况下也会崩溃。但是黑洞通过了这项测试：向其发射小行星，黑洞将幸免于难。因此，他们尝试向其投掷一颗星星。结果相同。最后，他们在黑洞处又扔了一个黑洞，它幸免了下来。结果，他们对黑洞的存在变得足够自信，可以开始在真实的宇宙中寻找它们。

因此，上述策略的相关性和应用在于开始证明一切。它可以通过健全性检查吗？如果删除必要的假设，它是否会崩溃？当将其应用于超出其范围的案例时，它是否会崩溃？它可以承受合理的概括和专业化吗？看看Polya的《如何解决》中的启发式列表。尝试使用这些启发式方法来改变您的证据，并查看其是否如预期的那样跌落。

我认为最安全的方法之一是提出多个独立的证明。这样，即使您在证明的某些细节上有误，也可以确信您的主要结果是正确的。

我发现一种有用的技术是考虑证明策略可以证明的其他结果。如果我能够轻松地采用证明策略来证明一个大的开放性问题，甚至是一个尚未解决的问题，但与证明策略的复杂性相比，解决方案过于复杂，那么这就是一个值得怀疑的重要原因证据。

我总是使用COQ或ISABELLE之类的证明检查器来重新检查我的证明。如果您可以使用任何一种编程语言来证明您的证明，则可以确保您的证明是正确的。就像一个lambda项一样简单；）。