将单一运算符的输入限制为实数和通用门集

在Bernstein和Vazirani的开创性论文“量子复杂性理论”中，他们表明维单一变换可以通过它们所谓的“近平凡旋转”和“近平凡相移”的乘积有效地近似。$d$

“近平凡旋转”是维单一矩阵，在除2维之外的所有维上均充当标识，但在由这两个维跨过的平面中充当旋转（即具有2x2子矩阵，其形式为：$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

对于一些）。$\theta$

“近琐碎相移”是维酉矩阵充当针对所有未1个维的身份，但适用的因子ë 我θ一些θ于一个维度。$d$$e^{i\theta}$$\theta$

此外，它们显示，仅一个旋转角度需要（对于旋转和相移unitaries两者），给定角度是一个不合理的多个（BV设置角度为2 π ＆Sigma; ∞ Ĵ = 1 2 - 2 Ĵ。$2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

随后的有关量子复杂性理论的论文（如Adleman等人或Fortnow和Rogers的论文）声称BV结果表明，通用量子计算可以使用条目在 unit算子完成。$\mathbb{R}$

这是怎么回事？我可以理解，近平凡旋转矩阵的乘积将为您提供带实数项的unit矩阵，但是相移矩阵又如何呢？

也就是说：如果您只能执行近乎平凡的旋转，并且相移矩阵的矩阵项为，我们是否可以有效地近似所有其他相移矩阵？$0,\pm 1$

我怀疑这种暗示不是立即显而易见的，而对其的正确证明将类似于证明类似德意志托菲利之门的通用性证据-或者我是否遗漏了非常明显的东西？

杜里特·阿哈罗诺夫（Dorit Aharonov）有一个简单的证明，托夫里（Toffoli）和哈达玛（Hadamard）是“量子通用”的，它首先展示了如何在更大的希尔伯特空间（又有一个量子比特）上通过真实振幅模拟复杂振幅。

$U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$

$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

除了Martin指出的论文之外，Terry Rudolph和Lov Grover的较早论文还指出2位借记门对量子计算是通用的（请参阅quant-ph / 0210187）。门口有所有实数输入，如果您不知道，重做的就是量子比特，其幅度限制为实数。这可能是索赔的来源。本文所述的闸门是受控的Y旋转。

$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$