欧几里得容量设施的位置问题

在容量限制的设施位置问题（CFLP）中，我们得到了一组客户$C$ 和一套潜在的设施 $F$。每个客户$j \in C$ 有需求 $d_j$必须由一个或多个开放设施提供服务。每个设施$i \in F$ 有开场费 $f_i$ 并有能力 $u_i$，这是设施的最大需求 $i$可以服务。服务一个客户单位需求的成本$j$ 在设施中 $i$ 是 $c_{ij}$。我们希望开放一部分设施，并根据开放的设施分配客户的需求，以便满足所有客户的需求，不违反容量约束，并且最小化开放设施和服务客户​​的总成本。服务成本是非负的，对称的并且满足三角不等式。

Arora在[ 1，第21页]中指出：“ Arora，Raghavan和Rao [ 2 ]针对几何情况给出了PTAS。他们将算法扩展到有能力的情况，但最终解决方案可能会少量违反容量约束。” 他所说的“少量”是什么意思？我想这意味着他们提供的PTAS违反了因素内的能力限制$(1+\epsilon)$ 对于任意 $\epsilon > 0$。这是正确的吗？

当我查看[ 2 ]时，发现的唯一相关结果是$n^{O(\log^2 (n / \epsilon))}$ 找到一个时间算法 $(1+\epsilon)$-Capacitated的近似解 $k$-我们拥有统一能力时的中位数问题。Arora是否在[ 1 ]中引用以上结果？

[ 1 ] S. Arora。NP难几何优化问题的近似方案：一项调查。在数学中。编程，序列 B卷 97，第43-69页，2003年。

[ 2 ] S. Arora，P。Raghavan和S. Rao。欧几里得k中值的近似方案和相关问题。在过程中。第30届ACM计算理论研讨会，第106–113页，1998年。

如果正确理解，您必须估算连接到每个网关的客户端数量。否则，您会立即得到类似$O(n^{O(g)})$，在哪里 $g$是子问题中的门数。通过将这个数字近似到一个$(1+\varepsilon/\log n)$ 在整个动态编程中，可以得到一个 $(1+\varepsilon)$最后的错误。这将产生与您上面所述相似的运行时间。