执行成本 跳过四叉树中的最近邻居搜索

注意：在我的回答中已经重提了这个问题：假设现在我们可以找到$O(1)$时间中最低的同级祖先，那么可以在真正执行ANN $O(\log n)$吗？

四叉树是有效的空间索引。我对[2]中所述的压缩四叉树结构中最近邻居搜索的实现感到困惑。（不赘述，搜索将沿着所谓的等距正方形自上而下进行，以等距路径的尾节点结束。在所附的图像中，该搜索可能是东南部充满点的任何节点。）

为使算法有效，必须为每个节点（一个至少包含两个非空象限的正方形）维护一个指针，该指针指向四个方向（北，西，南）中每个最低（祖先最靠近）的祖先节点， 东）。这些由节点向西的祖先的绿色箭头指示（箭头指向祖先广场的中心）。

本文声称这些指针可以在点插入和删除期间在O（1）中更新。但是，当查看绿点的插入时，似乎我需要更新任意数量的指针，在这种情况下，其中六个。

我希望有一个技巧可以在恒定时间内更新此指针。也许存在一种可以利用的间接形式？

编辑：

本文的相关部分为6.3，其中的内容为：“如果路径具有弯曲，则除了的最低祖先，我们还应该考虑方向中的每个最低祖先的该伴随朝向该方向[...]查找从这些正方形可在完成每平方的时间，如果我们关联附加指针在每个正方形指向其最接近的祖先为每个方向在插入或删除点的过程中，也可以在时间内更新这些指针。”$log(c/ε)$2 d q q O （1 ）2 d Q 0 O （1 $q$$2^d$$q$$q$$O(1)$$2^d$$Q_0$$O(1)$

[2]：Eppstein，D.和Goodrich，MT和Sun，JZ，“跳过四叉树：多维数据的简单动态数据结构”，在“计算几何学”第二十一届年度研讨会论文集中，第296-305页。 ，2005年。

像大卫一样，我不知道乔纳森为什么要对2 ^ d指针发表这样的评论。不需要它们。正如David前面提到的，基本属性是，当我们对Q_0中的叶v进行点定位时，记住跳跃四叉树中的同级节点（及其框）就足够了。当处理来自P的框时，我们为最接近查询点的叶框进行点定位，并在向下移动时插入同级框。听起来这与您的答案大致相同。此外，此程序与以下论文中的近似点定位非常相似：Arya，Sunil和Mount，David M.和Netanyahu，Nathan S.和Silverman，Ruth和Wu，Angela Y.， JACM，1998年，“一种用于近似最近邻搜索固定维度的最佳算法”。

可以考虑将四叉树作为一种数据结构的跳过列表实现，该数据结构根据点的z顺序存储这些点。（可以说）至少在概念上更简单...

请参阅此处的第2章：http : //goo.gl/pLiEO。

是的，假设您可以在恒定时间内执行一些基本的z阶运算，那么您绝对可以在对数时间内进行ANN。上一章还表明，如果要压缩四叉树，则无法避免进行奇异操作。注意，LCA操作不是必需的...

我还凭直觉感到没有这些指针就可以生存，而且由于我需要在某个时候将所有节点持久保存到硬盘上，因此指针的任何减少都是很好的。

我的想法大致如下：除了最佳候选点（叶），我们还跟踪每个回合中最差的距离。最坏的距离将是节点的所有角到查询点的距离的最大值，而不管是在正方形还是内部。 r m a x d i s t '（v ，q ）q v $l_{best}$$r_{max}$${dist}'(v,q)$$q$$v$$v$

一轮是这样的：如果为空，则返回，如果有的话。否则，delete-min会在给出当前的。将初始化为（如果尚未观察到最佳候选者，则将其设置为）。首先，测试的每个非空儿在。如果此子是叶，则如有必要，更新和。如果是节点，则计算和，后者是最佳距离：如果为零，则为零升b Ë 小号吨 p 0 Q 0 - [R 米一个X升b ë 小号吨 ∞ p 0 Q 0 q 升b Ë 小号吨 ř 米一个X q d 我小号吨 '（q ，v ）ð 我小号吨（q ，v ）v q q $P$$l_{best}$$p_0$$Q_0$$r_{max}$$l_{best}$$\infty$$p_0$$Q_0$$q$$l_{best}$$r_{max}$$q$${dist}'(q,v)$${dist}(q,v)$$v$谎言里面，或各个角落的最短距离到。$q$$q$$v$

如果，请忘记，否则保留它。如果保留的节点数为，则将这些节点推到。回合结束。 q ≥ 2 ${dist}(q,v) > r_{max}$$q$$\geq 2$$P$

否则，类似于原始搜索：在最大可能的找到，即的对应节点，然后从那里开始：同样，不要要求等距离的子项下降，而是按照前面的步骤测试所有子项，即跳过最佳距离超过。如果在此测试之后仍然有孩子，请下降到该位置并重复。如果没有孩子，请转到并重复。如果测试在中执行，则该回合结束。p 0 Q j r m a x Q j − 1 Q $q$$p_0$$Q_j$$r_{max}$$Q_{j-1}$$Q_0$

目前，我既不知道在每种可能的情况下都不能保证找到最近的邻居，也不知道它的性能是否与原始算法一样好。同样，的初始化是否足够。的优先级应该是什么-仍然是最佳距离？$r_{max}$$P$

编辑（2013年4月）

现在，我进行了更多实验，以澄清上述算法，该算法使用“等当量”节点而不是等值节点的定义，基于以下特性：降到这样的节点不会更改当前查询范围形状所覆盖的区域。$r_{max}$

不幸的是，人们可能会构造出病理情况（见下图；查询点位于底部中心），在这种情况下，性能会下降到回合。$O(\sqrt n)$

我现在已经实现了基于等值的算法，在其中搜索最低的兄弟祖先（尝试找到O（1）变量之前），以验证定理13中要求的最大回合数：。$O(\epsilon^{1−d}(\log n+\log \epsilon^{−1}))$

我使用的是先前回答中的“病理”示例。二维均方根的边长为512，其中中心坐标为（256，256）。坐标以整数形式给出，导致。这些点在整个平方根上水平等距放置，查询点位于（256，511）（请注意512已经在平方根的外面）。$\epsilon = 1$$v$

在下图中，显示了完整的树，在此示例中，点数为16。蓝色正方形轮廓指示将被压入优先级队列的有趣正方形，而其中心的数字则表示整数。他们被推。发现的叶点也用其所占的整数标记。三个透明的蓝色圆圈表示在第1，第2和第7轮之后的已知NN半径（在第7轮中首先看到最近的邻居）。总共有12个回合（队列中最后6个仅是弹出方块，但不添加任何新方块）。$Q_0$

我使用一系列越来越大的平方根和点数来运行此示例，其中点的间距保持不变（32）。这证实了从插图中已经直观可见的结果：该算法需要进行次回合，而和定理13 表示仅需要次回合。d=2ϵ=1O（logn$O(\sqrt n)$$d = 2$$\epsilon = 1$$O(\log n)$

因此，除非我缺少重要的内容，否则该算法将无法达到规定的速度。有任何意见或想法吗？