一个简单的（？）有趣的组合问题！

让我们固定和整数。 $0<E<1$ $t>0$

对于任何 $n$ 和任何向量 $\bar{c} \in [0,1]^n$ ，使得 $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

我不知道这种说法是否正确。我认为是真的

我的直觉来自于这样的观察：对于向量 $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ （具有关于和的期望属性），我们有 $A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$ ; 在这种情况下，我们只能从选择子集 $\{ i ~|~ c_i = 1 \}$ 。

在其他情况下，我们可以使用的坐标来创建一个好的子集（其总和大于 $E \times t$ ），但是也可以使用来自集合我们可以创建其他好的集合！ $\{ i ~|~ c_i > E \}$ $\{ i ~|~ c_i \leq E \}$

因此，请证明或查找错误！希望对您来说这可能是一个有趣的游戏！

问题的动机：

假设你有一个随机变量 $X\in \{0,1\}^n$ ，典型的措施存在“多少随机性” $X$ 是最小熵

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

从某种意义上说，最小熵是著名的香农熵的最坏情况（即平均情况）。

我们有兴趣降低随机变量的最小熵的下界， $(Z=X \wedge Y| Y)$ 其中 $Y$ 均匀地分布在集合 $\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$ 。

宽松地说，如果幸运的话，我们可以捕获具有“良好熵” 的的位，因此如果那么我们 $X$ $H_{\infty}(X)\geq En$ $H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

我们幸运的概率是多少？

这个问题是经过充分研究的，并且存在大量文献，例如参见引理A.3。有界检索模型中具有防弹力的公共密钥密码学的研究

co.combinatorics it.information-theory

— 安东尼奥·法
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我对术语感到困惑。由于不一定是整数，应如何定义？

(\binom{E \times n}{t})

$E\times n \choose t$

E \times n

$E\times n$

— Dave Clarke

动机是什么？

— Anthony Labarre 2011年

@Dave Clarke，标准方法是根据伽马函数或（假设为整数）将其定义为。

t

$t$

\prod_{k = 0}^{t - 1} (E n - k) / t!

$\prod_{k=0}^{t-1}(En-k) / t!$

— 彼得·泰勒

二项式系数可以推广为非整数参数（Wikipedia页面提供了很多细节）。但是，在这种情况下可能没有必要：请注意，在之和等于（即是其均值）的极值情况下，足以证明这一点。

c_{i}

$c_i$

E \times n

$E\times n$

E

$E$

— Klaus Draeger

@Dave：对我的不准确性感到抱歉，从我的角度来看，您可以选择。

⌊ E n ⌋

$\lfloor En \rfloor$

— AntonioFa 2011年

帖子中的猜想不成立，但评论中提到的较弱的猜想（相对于地板）成立。实际上，有更强大的东西。

引理1. 职位中的猜想不成立。也就是说，存在一个满足给定假设的实例，其中

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | < (\binom{E n}{t}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$

证明。 考虑具有，，和的实例。然后。对于左侧，我们有因为任何不包含两个1之和的子集最多为1.7，并且只有两个包含两个1的子集（和）。右边是 $n=3$ $c=(1, 1, 0.7)$ $E=2.7/3=0.9$ $t=2$ $E\, t = 1.8$

| {S \subseteq [3] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq 1.8} | = 2

$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$

S

$S$

{1, 1}

$\{1,1\}$

{1, 1, 0.7}

$\{1,1,0.7\}$

(\binom{2.7}{2}) = 2.7 \cdot 1.7 / 2 = 2.295 > 2. ◻

$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

评论中建议的较弱的猜想，即底线确实成立。实际上，有一些更强的东西： $\lfloor E\, n \rfloor$

引理2。 用固定，整数和向量。然后 $0<E<1$ $n,t>0$ $c \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | > (\binom{⌊ E n ⌋}{t}) + (\binom{⌊ E n ⌋}{t + 1}) + \dots + (\binom{⌊ E n ⌋}{⌊ E n ⌋}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$

证明。设。假设WLOG为。（否则，将和每个缩小一个均匀因子，以使其保持不变。这将维持并且既不改变哪个子集的总和至少为也不改变期望的下界假设WLOG等于（否则，要求不成立）。 $a=\lfloor E\, n\rfloor$ $a=E\,n$ $E$ $c_i$ $\sum_i c_i \ge E\,n$ $E\,t$ $t\le a$

考虑任何大小至少为子集，其中。由于和包含除元素外的所有元素（每个元素最多为1个），因此我们有。 $S\subseteq [n]$ $n-d$ $d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$ $\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$ $S$ $d$ $\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

这样的子集的数量是 $S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$ （使用） $n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

但是（使用），因此最后的和至少是良好子集数量上的所需下限。 $a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$ $a/n = E < 1$ $~~\Box$

— 尼尔·杨（Neal Young）
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