最小点积查询的数据结构

考虑配备了标准点积和其中向量的：v_1，v_2，\ ldots，v_m。我们要构建一个数据结构，以允许以下格式的查询：给定x \ in \ mathbb {R} ^ n输出\ min_i \ langle x，v_i \ rangle。是否有可能超越平凡的O（nm）查询时间？例如，如果n = 2，则立即获得O（\ log ^ 2 m）。$\mathbb{R}^n$$\langle \cdot, \cdot \rangle$$m$$v_1, v_2, \ldots, v_m$$x \in \mathbb{R}^n$$\min_i \langle x, v_i \rangle$$O(nm)$$n = 2$$O(\log^2 m)$

我唯一能想到的是以下内容。Johnson-Lindenstrauss引理的直接结果是，对于每个$\varepsilon > 0$和\ mathbb {R} ^ n上的\ mathcal {D}分布，都有一个线性映射f \ colon \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ {O（\ log m）}（可以在O（n \ log m）时间中求值），使得\ mathrm {Pr} _ {x \ sim \ mathcal {D}} \ left [ \ forall i \ quad \ langle x，v_i \ rangle-\ varepsilon（\ | x \ | + \ | v_i \ |）^ 2 \ leq \ langle f（x），f（v_i）\ rangle \ leq \ langle x ，v_i \ rangle + \ varepsilon（\ | x \ | + \ | v_i \ |）^ 2 \ right] \ geq 1-\ varepsilon。因此，在时间O（（n + m）\ log m）中，我们可以计算$\mathcal{D}$$\mathbb{R}^n$$f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{O(\log m)}$$O(n \log m)$$\mathrm{Pr}_{x \sim \mathcal{D}}\left[\forall i \quad \langle x, v_i \rangle - \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \leq \langle f(x), f(v_i)\rangle \leq \langle x, v_i \rangle + \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \right] \geq 1 - \varepsilon$$O((n + m) \log m)$在某种意义上，某些东西在大多数x上都接近\ min_i \ langle x，v_i \ rangle（至少如果范数\ | x \ |和\ | v_i \ |很小）。$\min_i \langle x, v_i \rangle$$x$$\|x\|$$\|v_i\|$

UPD如果我们使用局部敏感的散列，则可以将上述界限稍微简化为查询时间$O(n + m)$。更准确地说，我们选择$k := O(\frac{1}{\varepsilon^2})$独立的高斯向量$r_1, r_2, \ldots, r_k$。然后我们将\ mathbb {R} ^ n映射$\mathbb{R}^n$到$\{0,1\}^k$如下：$v \mapsto (\langle r_1, v \rangle \geq 0, \langle r_2, v \rangle \geq 0, \ldots, \langle r_k, v \rangle \geq 0)$。然后，通过计算此映射图像中的\ ell_1-距离，可以估算加性误差\ varepsilon中两个向量之间的角度。因此，我们可以估计加法误差内的点积$\varepsilon$$\ell_1$$\varepsilon \|x\| \|v_i\|$在$O(\frac{1}{\varepsilon^2})$时间中。

考虑一种特殊情况，即您只想确定查询向量是否与预处理集合中的某些向量正交。（也就是说，您要确定，其中所讨论的向量具有非负系数。）这种情况已经非常有趣。$\min_i \langle x, v_i \rangle = 0$

假设您可以在时间内回答某个，并使用预处理（多项式的度数不应取决于或或。$n^{O(1)} m^{1-\delta}$$\delta > 0$$m^{O(1)} n^{O(1)}$$m$$n$$\delta$

在论文“一种用于最优2约束满足的新算法及其含义”中，我观察到，这样的数据结构实际上将允许您在时间内对求解CNF-SAT ，其中是变量的数量。这将驳斥“强指数时间假说”，即k-SAT 对于无界基本上需要时间。$2^{\alpha v}$$\alpha < 1$$v$$2^n$$k$

要了解原因，假设预处理时间受。考虑具有变量和子句的CNF公式我们将变量集分为大小分别为和两个部分和。列出各部分中变量的所有可能赋值（分别获得和赋值）。每个这些部分转让的相关联与比特向量其中当且仅当$(nm)^c$$F$$v$$n$$P_1$$P_2$$v(1-1/(2c))$$v/(2c)$$2^{v(1-1/(2c))}$$2^{v/(2c)}$$A_i$$n$$w_i$$w_i[j]=1$$j$ th子句不被满足。因此，我们有两个指数级的位向量列表。$F$$A_i$

注意，是可满足当且仅当有一个向量从在赋值和向量从分配上使得。$F$$w_1$$P_1$$w_2$$P_2$$\langle w_1, w_2 \rangle = 0$

现在，让，并用来自部分的所有矢量预处理假定的数据结构。通过假设，这花费了时间。对部分上的赋值的所有向量运行查询算法。假设这需要。令。$m=2^{v/(2c)}$$P_2$$n2^{v/2}$$P_1$$2^{v(1-1/(2c))} \cdot n^{O(1)} m^{1-\delta} = n^{O(1)} 2^{v - \delta v/(2c)}$$\alpha = 1 - \delta/(2c)$

也许可以使用现有技术获得高效的预处理和查询时间。最著名的CNF-SAT算法并不排除它。（他们得到的像。）但是要计算稍微强一点-在这种设置下，这就像求解MAX CNF-SAT。$n^{O(1)} m^{1-1/(\log \log m)}$$2^{n-n/\log n}$$\min_i \langle x, v_i\rangle$

这是一个确切答案的想法，我怀疑Chao Xu可能在暗示。首先观察到，我们还可以像Chao指出的那样对归一化。现在考虑垂直于方向的超平面。目的是找到最靠近该超平面的点。通过双重性，这对应于超平面的布置中的射线拍摄查询，以找到在查询点“上方”的最近平面。由于可以对其进行预处理，因此主要的复杂性是点的定位，因此，您的问题现在已减少到在超平面排列中进行点定位的复杂性。使用切割，可以在空间中的时间中完成。$x$$h$$x$$O(\log n)$$n^d$