大小为

问题很简单直接：对于固定的，大小为（即个状态）的DFA接受多少种（不同的）语言？我将正式声明： $n$ $n$ $n$

将DFA定义为，其中一切正常，而是（可能是部分）函数。我们需要建立这一点，因为有时仅将全部功能视为有效。 $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

对于每一个，定义（等价）关系该组所有的DFA的如：如果并且。 $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

现在的问题是，那么：对于给定的，什么是指数？也就是说，集合多少？ $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

即使是一个总函数，似乎也不是一件容易的事（至少对我而言）。该图可能未连接，并且包含初始状态的连接组件中的状态可能都被接受，因此，例如，有许多大小为图都接受。与空语言和其他最小DFA少于个状态的语言的其他琐碎组合相同。 $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

（幼稚的）递归似乎也不起作用。如果我们采用大小为的DFA 并添加一个新状态，那么，如果我们要保持确定性并使新图连接起来（以试图避免琐碎的情况），我们必须删除过渡以连接新状态，但是在这种情况下，我们可能会丢失原始语言。 $k$

有什么想法吗？

注意。我用正式声明又没有先前分散注意力的要素再次更新了这个问题。

— 亚诺玛
source

只是为了澄清一下：您的意思是“一种语言可以使用

个状态定义多少种语言？”，如果存在一个包含

个状态的DFA，则使用

个状态定义一种语言。另外，对于正则表达式，正则表达式“ a * aaaaaa”肯定具有> 1个串联，但是DFA仅需要一个状态（如果需要单独的接收器，则需要两个状态），不是吗？

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Evgenij Thorstensen

抱歉：对于正则表达式示例，它应为“ a a a a a *”，因为它允许任何数字。

— Evgenij Thorstensen

的定义似乎与“点深度”（dot-depth）概念非常相关，只是该概念通常应用于无星星的语言（可能是由于@Evgenij Thorstensen概述的原因）。

c (r)

$c(r)$

— mhum 2011年

琐碎的观察：

个状态可用于定义至少

种不同的语言。

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

— Evgenij Thorstensen

我们可以得到多一点点，所以

似乎确定。但正状态自动机的数目是围绕

（假设

）。我们可以得到

？

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— 卡夫

我认为这个问题以前已经研究过了。Mike Domaratzki撰写了一份有关该领域研究的调查报告：“形式语言的枚举”，Bull。EATCS，第一卷 89（2006年6月），第113-133页：http：//www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— 赫尔曼·格鲁伯
source

从第120页起，本文确实准确地解决了所提出的问题。它是函数

，尽管我没有吸纳所有细节，但本文仍给出了相当严格的界限（接近Kaveh所提到的）。

g_{k} (n)

$g_k(n)$

— Evgenij Thorstensen

确实。那么我们想要的就是

，或者通过给定的关系

，它是在

字母上具有

个状态的成对非同构最小DFA的数量。我也没有详细研究它，但似乎只知道界限，而不是确切数量。

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

— Janoma 2011年

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$