找到一个将多面体均匀分裂的切割平面

假设我们有一个标准形式的多面体：

\begin{aligned} 一个 X = b \\ X \geq 0 \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{array}{rl} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ \mathbf{x} \ge 0 \end{array} \end{equation*}$

有什么已知的方法可以找到一个超平面来分裂多面体，使得超平面每一侧的顶点数量大致相同？（即最小化分割两侧顶点基数绝对差的算法）。 $\mathbf{d} \mathbf{x} +d_0= 0$

另外，关于此问题的复杂性是否有任何已知结果？

附录：限制裁员类型：

这是原始问题的一种变体，希望它比原始问题更容易解决：

有没有一种方法可以有效地计算或估计形式的超平面会为哪个坐标产生分裂两边的顶点基数的最小绝对差？“有效”是指所有可能的拆分都比穷举顶点基数更有效。 $i$ $d_ix_i + d_0 = 0$

注意：经过几天的小改进，我也在MathOverflow上发布了此问题。

ds.algorithms linear-programming linear-algebra

— Amelio Vazquez-Reina
source

难道不能证明这是一个NP难题吗？

— 彼得·索尔

谢谢@Peter。一个证明会很棒。就是说，我认为问题很棘手，我想我对启发式算法或近似算法更感兴趣。限制切割类型的想法背后的动机部分是看我们是否已经知道解决方案或近似算法的一般问题是否存在更容易的变化。

— 阿梅利奥·瓦兹奎兹·雷纳

这些方面的事情怎么样（不确定是否可行）-我们知道计算最大二分匹配数是＃P-hard。我们也知道，找到最大二分匹配的线性程序是完全单模的，因此任何拐角点/基本可行解都是必不可少的。对于最大的二分匹配问题，请找到匹配的值。以任何解决方案都必须具有最佳值为约束，构造一个线性程序。那么每个角点都是匹配的。能够重复平均分配意味着您应该能够计算出匹配数。

— 选

没关系。人们还必须能够计算切割平面添加的顶点数量。

— 选项

-2

我不记得这样做的分析方法！

但这是遗传编程的经典问题！如果您熟悉它，可以在描述切割平面的多面体中心使用归一化向量。

因此，您的总体是一组[x，y，z，...]归一化向量，作为拟合函数，您使用了2个分割体积之间的差！

因此，如果差异趋于零，则您的向量/平面将更“适合”！

— 爱德华多·庞斯
source

抱歉，您可以不使用基因编程语言再说一遍吗？什么是“人口”？什么是“拟合函数”？

— Jeffε