给定一个图，确定其边缘连通性是否至少为n / 2

Alon和Spencer撰写的《概率方法》一书的第1章提到了以下问题：

给定图，确定其边缘连通性是否至少为。 $G$ $n/2$

作者提到Matula 存在算法，并将其改进为。 $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

我的问题是，这个问题最著名的运行时间是多少？

让我描述改进的算法。

首先，确定的最小次数是否至少为。如果不是，则边缘连通性显然小于。 $G$ $n/2$ $n/2$

接下来，如果不是这种情况，则计算一个控制集的尺寸的。可以在时间，通过本书上一节中介绍的算法来完成。 $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

接下来，它使用以下不是很困难的事实来证明：

如果最小度为，则对于将划分为和最大大小的边切，任何主导的集都必须在和中都具有其顶点。 $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

现在考虑主导集合。由于具有最小程度，尺寸的任一边缘切小于也必须分开。因此，对于每个，我们发现最小的边切割的尺寸分开和。可以使用最大流算法在时间完成所有这些操作。因此，花费的总时间为。 $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Vinayak Pathak
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顺便说一句，最大流量算法的改进当然也会导致此处的改进。但是我想是目前已知的最佳最大流算法吗？

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— Vinayak Pathak

也许我误会了一些东西，但是Karger-Stein随机mincut算法没有运行时间吗？

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

是预计运行时间？我描述的算法是完全确定性的。

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Vinayak Pathak

该算法为蒙特卡洛算法：它总是在时间并以高概率输出最小切割。当然，故障的可能性与运行时间成反比。抱歉，假设您的引用是Alon-Spencer，我只是假设算法是随机的:)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

如果您正在寻找确定性算法，我认为您应该在问题中指定该算法。对于最小割，我不知道确定性算法比更好有关实现此运行时间的简单算法，请参阅Stoer-Wagner）。有趣的是，我们可以为您指定的问题确定性地做得更好（指数的8/3对于最佳界限似乎是不自然的，但谁知道）。

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— Sasho Nikolov

可以轻松地检查这在线性时间内，由于图具有边缘连接至少当且仅当其最小程度至少。您已经为“仅当”部分辩护。现在考虑一个图形，其中每个顶点的度数至少为并且有一个割线将图形分为两个顶点集和其中。在一个顶点可以具有至多连接至其它顶点在，因此必须有助于至少的边缘到切口。因此，切口的大小必须至少为。仍然表明 $n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ ，因为，所以它是正确的。 $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

奇怪的是，仅供参考，我觉得这个结果是这个从生物信息学会议。我真的很想知道它是否已在其他地方得到证明。

编辑：较早的参考是：加里·查特兰德：一种解决通信问题的图论方法，SIAM J. Appl。数学。14-4（1966），第778-781页。

— 福克·赫夫纳
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