快速编码平衡向量

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很容易看出，对于任何，存在从{0,1}到{0,1}的1-1映射，使得对于任何，向量是“平衡的”，即它具有相等的1和0。是否可以定义这样的以便在给定我们可以有效地计算？ $n$ $F$ $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ $F(x)$

谢谢。

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— 皮特
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我以为“有效”是指O（n）或大约等于（排除“重复随机试验”的论点）？

— Suresh Venkat 2010年

@Suresh，您能否概述“重复随机试验”的论点？

— 埃米尔（Emil）2010年

证明映射存在的一种方法是通过概率方法：随机选择F，然后以一定的概率进行映射。我正是这个意思。

— Suresh Venkat 2010年

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这个问题定义得很清楚，但我认为标题是误导的。除非F是双射的，否则我不会将满足所述条件的映射F称为“平衡矢量的编码”。它更像是通过平衡向量对n位字符串进行编码。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

我的意思是，“完全定义明确”，甚至可能对“有效”做出不同的解释。但这不是我先前评论的重点。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

Answers:

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让我们考虑位字符串。定义： $n$ $x$

$f(x,i)$ =位串，后位为补码。 $x$ $i$
$b(x)$ =的“不平衡”：1秒的数量中的0的数目。 $x$ $x$ $-$ $x$

现在修复字符串。考虑函数。观察结果： $x$ $g(i) = b(f(x,i))$

$g(0) = b(x)$ 。
$g(n) = -g(0)$ 。
$|g(i) - g(i+1)| = 2$ 对于。我们要么删除一个0，再添加一个1，反之亦然。 $i$

现在得出存在一个使得。 $i$ $-1 \le g(i) \le +1$

因此，我们可以构造一个位字符串，如下所示：连接和索引的二进制编码。不平衡的绝对值为。而且，给定，我们可以恢复；映射是双射的。 $(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

最后，您可以添加虚拟位，以将的不平衡度从到。 $O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— Jukka Suomela
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第三行中的b（x）应该是b（y）。

— 埃米尔（Emil）2010年

我认为您可能需要在字符串x上再加上一点，以确保它具有偶数长度（以便可以确定对于某些i，g（i）为零）。

— 埃米尔（Emil）2010年

@Emil：我并不是说

对于某些

为零；

的绝对值对于某些

来说“相当小” 就足够了（最多对数就足够了，但是很容易证明对某些来说它最多为

）。

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

— Jukka Suomela 2010年

@Jukka：是的，我明白了。

— 埃米尔（Emil）2010年

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但是，是的，您是对的，同一基本方法有很多变体。例如，按照您的建议，您可以首先使用填充位来确保

对于某些

等于零；那么您可以使用位对

或

编码

，即额外增加

位；则串联的结果是严格平衡的，您无需添加其他任何内容。

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

— Jukka Suomela 2010年

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使用保留词典顺序的映射。要找到具有 1的第个长度为平衡矢量，请递归执行：如果，则将第一个位设置为0，然后找到第个长度- 具有 1的向量，以完成剩余的位。否则，设置第一个位1并找到具有 1的 -th个长度-向量。 $k$ $n$ $n/2$ $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— 泽宇
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而且，如果您重用二项式系数的值来计算下一个所需的二项式系数，则整个算法的运行时间为O（n）。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

谢谢！这是有道理的。我想运行时间将取决于计算模型。如果您可以在单位时间内对n位数字执行运算，则伊藤刚的实现将在O（n）时间运行。另一方面，我认为如果计算位操作的时间将为O（n ^ 2）。

— Piotr

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