一组平面点的三角剖分数量：为什么这么难？

在今年夏天听完Emo Welzl关于这个话题的演讲后，我知道飞机上一组个点的三角剖分数量大约在和。抱歉，如果我过时了；欢迎更新。 $n$ $\Omega(8.48^n)$ $O(30^n)$

我在课堂上提到了这一点，并希望通过简短的圣人言论来使学生理解（a）为什么事实证明很难确定这个数量，以及（b）为什么这么多的人关心确定这个数量。我发现我没有足够的答案来阐明这两个问题。对于我的贤哲而言！

感谢您回答这些公认的含糊不清的问题。谢谢！

co.combinatorics cg.comp-geom

，但我不记得埃莫·韦尔茨（Emo Welzl）是否曾说过可以通过更仔细的分析来显示更好的边界。由于某种原因，我的脑袋里有

。

O (56^{n})

$O(56^n)$

O (35^{n})

$O(35^n)$

— Timothy Sun

在同一页面上，它指出“当前的最佳界限是30”。数字56用于多边形化。

— 徐超

也许值得我自己回答我的问题。三角剖分由非交叉段形成。理解非交叉性是困难的。那是一个）。对于（b），追求是通过试图理解非交叉来驱动的。我认为您会同意这些答案是不够的。

— Joseph O'Rourke

作为参考，对凸位置上的点执行相同的操作是通过加泰罗尼亚数字进行的作业。这是因为我们可以通过平衡括号在一个不错的方式表征非crossingness（给予信任，以（a）点）

— 苏雷什Venkat

我倾向于说这个问题与EDC没有直接关系。主要是因为关键问题在于表征非交叉对，并且因为该问题具有更强的拓扑结构而不是几何形状（并且我们有间接证据表明EDC本质上是几何形状的）

— Suresh Venkat

Answers:

这是我们关心三角剖分的另一个“应用的”原因。在网格压缩方面有很多工作，目标是每个顶点使用尽可能少的位来编码网格（主要是为了帮助存储和传输）。平面点集的三角剖分数量中指数的特定基数为每个顶点所需的位数提供了信息理论上的下限（具体而言，为 $8.48^n$ 三角剖分意味着每个顶点至少需要8.48位）。然后可以将这些界限与实际的网格压缩方案进行比较，以确定其功效。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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好点，Suresh！我没有想到这种联系。

— 约瑟夫·奥洛克

下限已略微提高到（请参见此处的arXiv）。我试图在此网页中保持针对此问题的各种变体的最新范围（对这种无耻的自我广告感到抱歉）。 $\Omega(8.65^n)$

$30^n$ $p$

— 亚当·谢弗
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那是一个不错的网站。

— Suresh Venkat 2012年